Аппроксима́ция Паде́, наилучшая рациональная аппроксимация степенного ряда. Пусть

$$\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} f_kz^k \tag{*}$$– произвольный степенной ряд (формальный или сходящийся), $m,n ⩾ 0$ – целые числа, $R_{n,m}$ – класс всех рациональных функций вида $p/q$, где $p$, $q$ – многочлены от $z$, и степени многочленов $\deg q ⩽ m$, $\deg p ⩽ n$, $q \not \equiv 0$. Аппроксимацией Паде типа $(n, m)$ ряда $(*)$ называется рациональная функция $π_{n,m} \in R_{n,m}$, имеющая максимально возможный в классе $R_{n,m}$ порядок касания с рядом $(*)$ в точке $z=0$. Точнее, функция $π_{n,m}$ определяется условием

$σ(f-π_{n,m})=\max \{ σ(f-r): r∈R_{n,m}\},$где $σ(φ)$ – индекс первого из отличных от нуля коэффициентов ряда

$\displaystyle φ(z)=\sum_{k=0}^{\infty} φ_k z^k.$Функцию $π_{n,m}$ можно определить также как отношение $p/q$ любых многочленов $p, q,\, q=0$, удовлетворяющих соотношениям

$\deg p⩽n,\,\, \deg q⩽m, \,\, (qf-p)(z) = A_{n,m}z^{n +m+1} +\ldots$При фиксированных $n$, $m$ существует единственная аппроксимация Паде $π_{n,m}$ ряда $(*)$. Таблица $\{ π_{n,m} \}^∞_{n,m=0}$ называется таблицей Паде ряда $(*)$. Последовательности $\{π_{n,m}\}^∞_{n=0}$называются строками таблицы Паде (нулевая строка совпадает с последовательностью многочленов Тейлора для $f$), $\{π_{n,m}\}^∞_{m=0}$ – столбцами таблицы Паде, $\{π_{n+j,n}\}^∞_{n=0}$ – диагоналями таблицы Паде. Наиболее важному случаю главной диагонали соответствует $j=0$.

Вычисление функции $π_{n,m}$ сводится к решению системы линейных уравнений, коэффициенты которых выражаются через коэффициенты $f_k$, $k=0,1,\ldots,n+m$, заданного ряда. Если отличен от нуля определитель Ганкеля

$\Delta_{n,m}= \begin{vmatrix}f_{n-m+1}&f_{n-m+2}&\dots&f_n\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ f_n&f_{n+1}& \dots&f_{n+m-1} \end{vmatrix},$то знаменатель $q_{n,m}$ функции $π_{n,m}$ определяется по формуле

$q_{n,m} =\dfrac{1}{\Delta_{n,m}} \begin{vmatrix} & & &f_{n+1} \\ & & &. \\ &\Delta_{n,m}& &. \\ & & &. \\ & & &f_{n+m} \\ z^n&\dots&z&1\\ \end{vmatrix},$при этом $q_{n,m(0)}=1$. Явная формула может быть выписана и для числителя функции $π_{n,m}$.

Справедливо равенство

$(f-π_{n,m})(z)=A_{n,m}z^{n+m+1}+\ldots$Последнее соотношение иногда принимают в качестве определения аппроксимации Паде; в этом случае аппроксимации Паде могут не существовать для некоторых пар $(n, m)$. Для обозначения аппроксимации Паде типа $(n, m)$ заданного ряда $f$ часто употребляют символ

$[n/m]=[n/m]_f.$Для эффективного вычисления аппроксимации Паде удобнее пользоваться не явными формулами, а реккурентными соотношениями, существующими в таблице Паде. Разработано большое число алгоритмов для машинного вычисления аппроксимаций Паде.

Название аппроксимация Паде получила по имени французского математика А. Паде, применявшего её (1892) в рамках классической теории непрерывных дробей. Частные случаи аппроксимации Паде изучались начиная с 1820 г. О. Коши, К. Якоби, Ф. Г. Фробениусом. Фундаментальные результаты о диагональных аппроксимациях Паде получены П. Л. Чебышёвым, А. А. Марковым и Т. Стилтьесом. С начала 20 в. аппроксимация Паде стала самостоятельным объектом анализа и составляет важную часть теории рациональных приближений аналитических функций. С помощью аппроксимации Паде, при построении которой используются локальные данные (коэффициенты степенного ряда), можно получать результаты о глобальных свойствах соответствующей аналитической функции (аналитическое продолжение, характер и расположение особенностей и т. д.) и вычислять значение функции за пределами круга сходимости степенного ряда.