Тео́рия представле́ний, часть теории алгебр и групп, в которой каждому элементу алгебры или группы ставится в соответствие линейное преобразование векторов. Любой вектор $ψ$ может быть представлен в виде линейной комбинации $ψ=\sum_na_nψ_n$ базисных векторов $ψ_n$ и будет полностью определяться коэффициент $a_n$ этой комбинации. Если изобразить его столбцом из чисел $a_n$, то преобразованию $G$ будет отвечать квадратная матрица с численными элементами $G_{mn}$, а результат преобразования будет вектором с коэффициентом. $b_m=\sum_nG_{mn}a_n$.

Особую роль теория представлений играет в квантовой механике, где состояниям квантовой системы ставятся в соответствие векторы состояния, являющиеся элементами линейного пространства. Квантово-механический принцип тождественности не позволяет экспериментально различить одинаковые частицы. Поэтому состояние системы с одинаковыми частицами не изменится, если поменять их местами. Например, для молекулы с одинаковыми атомами такая перемена мест может осуществляться поворотами молекулы как целого вокруг какой-либо оси или отражением в какой-либо плоскости (и их комбинациями). Такие преобразования образуют точечную группу симметрии молекулы (они обязательно оставляют неподвижной некоторую точку «внутри» молекулы). Преобразования симметрии удобно изображать матрицами, действующими на столбцы, отвечающие векторам состояния молекулы.

Матрицы преобразований симметрии можно (одновременно для всех элементов группы симметрии) привести к блочно-диагональному виду выбором базиса в пространстве состояний: полная матрица в этом случае состоит из квадратных блоков вдоль диагонали, а вне блоков все её элементы равны нулю. Поэтому каждый блок осуществляет представление группы симметрии, действующее на линейные комбинации лишь некоторых элементов базиса. Отвечающие блокам представления называются неприводимыми. Уровни энергии молекулы одинаковы для состояний, соответствующих каждому неприводимому представлению. Теория представлений даёт классификацию уровней энергии многоатомных молекул.