Тео́рия моде́лей, раздел математики, возникший при применении методов математической логики в алгебре. Во 2-й половине 20 в. теория моделей оформилась в самостоятельную дисциплину, методы и результаты которой находят применение как в алгебре, так и в других разделах математики.

Основные понятия теории моделей

Основными являются понятия алгебраической системы, формализованного языка, истинности высказывания рассматриваемого языка в данной алгебраической системе. Примером алгебраической системы является система натуральных чисел вместе с операциями сложения и умножения, отношением порядка и выделенными элементами $0$, $1$. Простейшие высказывания об этой системе – высказывания типа «$x+y=z$ при $x=2$, $y=3$, $z=5$» «$x·y=z$ при $x=4$, $y=2$, $z=8$», «$x{<}y$ при $x=2$, $y=3$». Более сложные высказывания получаются из простейших при помощи пропозициональных связок «и», «или», «если..., то...», «не», а также кванторов $∀x$ (для каждого $x...$), $∃x$ (существует такое $x$, что...). Например, утверждение, что числа $u$ и $v$ взаимно просты, записывается в виде: «для каждых $x, y$ и $z$, если $u=x·у$ и $v=x·z$, то $x=1$» и получается из простейших при помощи пропозициональных связок и кванторов.

В общем случае под алгебраической системой понимается непустое множество вместе с заданными на этом множестве совокупностями отношений и операций от конечного числа аргументов. Эти операции и отношения называются основными в алгебраической системе. Каждой такой операции и каждому такому отношению ставится в соответствие определённый символ. Набор $Ω$ этих символов называется сигнатурой алгебраической системы. Обычно изучаются классы алгебраических систем одной сигнатуры.

Важнейшими из формализованных языков являются языки 1-й ступени. Алфавит такого языка состоит из набора $Ω$ символов отношений и операций; знаков $\And, ∨, ♦, ⌉, ∀, ∃$, обозначающих пропозициональные связки и кванторы; набора символов, называемых предметными переменными, а также скобок и запятой. При этом каждому символу отношения или операции приписывается натуральное число, называемое арностью (местностью) этого символа; оно равно числу аргументов той операции или того отношения, которым соответствует рассматриваемый символ. В число символов отношений включается специальный символ = для отношения равенства. Индуктивно определяются понятия терма и формулы. Предметные переменные являются термами. Если $f$ – символ $n$-арной операции, а про $g_1,\ldots,g_n$ уже известно, что они термы, то $f(g_1,\ldots,g_n)$ есть тоже терм. Простейшие формулы – выражения вида $P(g_1,\ldots,g_n)$, где $P$ есть $n$-арный символ отношения, а $g_1,\ldots,g_n$ – термы. Более сложные формулы получаются из простейших с помощью конечного числа связываний их знаками кванторов и пропозициональных связок. Символы предметных переменных, встречающиеся в формуле, разделяются на свободные и связанные. Связанные находятся в области действия квантора по этому переменному, а остальные свободные. Например, в формуле $$(∀x)(∃y)\,(f(x,y)=z∨f(x,y)=u)$$ свободными являются $z$ и $u$, а $x$ и $y$ связаны кванторами. Формулы без свободных переменных называются высказываниями. Каждая формула со свободными переменными $x_1,\ldots,x_n$ на каждой алгебраической системе $A$ сигнатуры $Ω$ определяет $n$-арное отношение. Например, формула, записывающая утверждение, что числа $u$ и $v$ взаимно простые, определяет на натуральных числах отношение взаимной простоты, которое для пары $(3, 5)$ истинно, а для пары $(2, 4)$ ложно. Для простейших формул соответствующее отношение фактически задаётся самой системой $A$. Для более сложных формул соответствующее отношение определяется путём интерпретации кванторов и пропозициональных связок: $(Ф_1 \And Ф_2)$ интерпретируется как «$Ф_1$ и $Ф_2$», $(Ф_1∨Ф_2)$ – как «$Ф_1$ или $Ф_2$», $(Ф_1♦Ф_2)$ – как «если $Ф_1$, то $Ф_2$», $⌉Ф$ – как «неверно, что $Ф$»,$(∀x)Ф$ – как «для всех $x$ $Ф$», $(∃x)Ф$ – как «существует $x$, для которого $Ф$». Согласно этому определению, каждое высказывание в каждой алгебраической системе соответствующей сигнатуры либо ложно, либо истинно. Например, если символу $f$ ставится в соответствие операция сложения на натуральных числах, то формула $(∀x)\, f(x, x)=f(f(x, x), x)$, утверждающая, что $2x=3x$ для всех $x$, ложна на натуральных числах, а формула$(∀x)\,(f(x, x)=x♦f(x, х)=f(f(x, x), x))$, утверждающая, что если $2x=x$, то $2x=3x$, истинна. Алгебраическая система $A$ называется моделью данного множества $Σ$ высказываний, если каждое высказывание из $Σ$ истинно в $A$. Класс $K$ алгебраических систем называется аксиоматизируемым, если $K$ есть совокупность всех моделей некоторого множества высказываний. Многие важные классы алгебраических систем, например классы групп, колец, полей, аксиоматизируемы.

Изучение общих свойств аксиоматизируемых классов – важная часть теории моделей. Во многих случаях по форме высказываний из $Σ$ удаётся судить о некоторых алгебраических свойствах класса всех моделей $Σ$. Например, тот факт, что гомоморфные образы и прямые произведения групп снова оказываются группами, есть следствие того, что класс групп может быть определён как совокупность всех моделей такой совокупности высказываний $Σ$, что каждое высказывание из $Σ$ имеет вид $(∀x_1)\ldots (∀x_n)f=g$, где $f$, $g$ – термы.

Фундаментальный результат теории моделей – локальная теорема Мальцева (1936), согласно которой если каждая конечная подсовокупность совокупности $Σ$ высказываний имеет модель, то и $Σ$ имеет модель. А. И. Мальцев нашёл многочисленные применения этой теоремы для доказательства т. н. локальных теорем алгебры.

Важным фактом в теории аксиоматизируемых классов является теорема Лёвенхейма – Сколема: всякий аксиоматизируемый класс конечной или счётной сигнатуры, содержащий бесконечные системы, содержит и счётную систему. В частности, нельзя указать такую совокупность высказываний, все модели которой были бы изоморфны одной бесконечной алгебраической системе, например полю комплексных чисел или кольцу целых чисел. Однако существуют аксиоматизируемые классы, все системы которых данной бесконечной мощности изоморфны.

Одной из важных конкретных совокупностей высказываний является совокупность, определяющая понятие множества. Это понятие описывается на языке 1-й ступени, сигнатура которого состоит из одного символа – символа бинарного отношения, интерпретируемого как «$x$ есть элемент $y$». Существует несколько вариантов таких описаний, каждый из которых осуществляется при помощи своей совокупности высказываний. Эти совокупности называются системами аксиом теории множеств. Развитие теории моделей показало, что нельзя выбрать такую систему аксиом для теории множеств, которая удовлетворила бы все потребности математики (см. также Аксиоматическая теория множеств).

Историческая справка

Основные понятия теории моделей возникли в математике в 19 в., главным образом в работах по основаниям геометрии. К понятию модели данного множества высказываний вплотную подошёл Н. И. Лобачевский в работах по геометрии. В полной мере оно проявилось в трудах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, построивших модели геометрии Лобачевского, и Д. Гильберта, сформулировавшего полную систему аксиом элементарной геометрии. Теория моделей развивалась как самостоятельный раздел логики в начале 1930-х гг. в работах норвежского математика Т. А. Сколема, К. Гёделя, А. Тарского и А. И. Мальцева. Центральные понятия и результаты теории моделей сложились к 1960-м гг., важную роль в развитии теории моделей сыграли школы А. Тарского и А. Робинсона в США и А. И. Мальцева в СССР.

Центральная часть современной теории моделей – это изучение элементарных теорий, т. е. теорий, описываемых на языке 1-й ступени. Однако изучаются и теории, описываемые при помощи более богатых языков. Для современного этапа развития характерно проникновение в теорию моделей геометрических идей и методов. Новым, активно развивающимся направлением также является теория конечных моделей, связанная с исследованием сложности вычислений и имеющая важные приложения в информатике.