Ква́нтовая тео́рия тяготе́ния (квантовая теория гравитации), квантовополевая теория гравитационного взаимодействия. Поскольку гравитационное взаимодействие универсально (в нём одинаково участвуют все виды материи независимо от их конкретных свойств), считается, что построение полной, законченной квантовой теории тяготения неотделимо от построения единой квантовой теории всех физических полей. Такая единая теория ещё не создана, и под общим термином «квантовая теория тяготения» объединяют несколько более частных и относительно самостоятельных направлений: квантовую теорию собственно гравитации, теорию негравитационных квантовых полей в искривлённом пространстве-времени, квантовую космологию и квантовую теорию чёрных дыр, квантовую супергравитацию и многомерные единые теории поля. Предполагается, что эти направления в будущем сольются и станут частями полной квантовой теории тяготения. Пока квантовая гравитация носит в основном теоретический характер и не опирается на лабораторные эксперименты. Это обусловлено крайней малостью квантовых эффектов, связанных с гравитацией. Квантовая теория тяготения строится по образу квантовой теории других полей материи исходя из условия согласованности с ними.

Квантовая теория собственно гравитации

КТГ, обычно называемая квантовой теорией гравитации, основана на использовании квантования в классической теории гравитации взаимодействия – общей теории относительности Эйнштейна (ОТО). В случае слабого гравитационного поля метрический тензор искривлённого пространства-времени, определяющий все его геометрические свойства, имеет вид: $g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu},$ где $\mu, \nu=0,1,2,3;$ $\eta_{\mu \nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$ – метрический тензор пространства-времени Минковского, $|h_{\mu \nu}|\ll 1.$ Тогда в первом приближении ОТО сводится к релятивистской теории свободного безмассового поперечного тензорного поля $h_{\mu \nu}$ – гравитационных волн – в плоском пространстве-времени. В квантовой теории величины $g_{\mu \nu}$ и $h_{\mu \nu}$ становятся операторами.

Гравитационные волны можно рассматривать как поток квантов – гравитонов, представляющих собой нейтральные частицы с нулевой массой покоя и со спином 2. Спиральность гравитона (проекция его спина на направление движения) всегда равна ± 2. Гравитоны подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна и могут неограниченно накапливаться в одном квантовом состоянии, образуя когерентный конденсат, который представляет собой классическую гравитационную волну. Вследствие общей ковариантности ОТО поле $h_{\mu \nu}$ является калибровочным полем. Соответственно, требование калибровочной симметрии (инвариантности) накладывается на КТГ и на квантовую теорию тяготения в целом.

Нелинейность ОТО (см. Тяготение) приводит к нелинейности КТГ; в следующем порядке теории возмущений по $h_{\mu \nu}$ гравитоны начинают взаимодействовать друг с другом и со всеми остальными квантовыми частицами. Типичный процесс – рассеяние гравитона на гравитоне; сечение этого процесса $$\sigma \approx l^2_{\text{Pl}}(\mathscr E/m_{\text{Pl}}c^2)^2, \quad\tag{1}$$где $l_{\text{Pl}}=\hbar/m_{\text{Pl}}c \approx 10^{-33}$ см – планковская длина, $\hbar$ – постоянная Планка, $c$ – скорость света, $m_{\text{Pl}}=(\hbar c/G)^{1/2} \approx 10^{-5}$г – планковская масса, $m_{\text{Pl}}c^2 \approx 10^{19}$ ГэВ, $G$ – гравитационная постоянная, $\mathscr E$ – полная энергия гравитонов в системе центра инерции $(\mathscr E \ll m_{\text{Pl}}c^2).$ Ввиду крайней малости $l_{\text{Pl}}$ сечение $\sigma$ ничтожно мало в подавляющем большинстве процессов во Вселенной. Другими процессами такого типа являются двухгравитонное рождение пары частица-античастица любого негравитационного квантового поля и обратный процесс двухгравитонной аннигиляции пары: $g+g \leftrightarrow N+ \tilde{N}$ ($g$ – гравитон, $N$ и $\tilde N$ – частица и античастица). Если $\mathscr E \gg m_Nc^2,$ где $m_N$ – масса покоя частицы $N,$ то сечение обоих процессов также даётся формулой (1). Таким образом, на квантовом уровне взаимопревращаемы все виды материи, включая гравитационное поле.

Из-за наличия калибровочной симметрии поле $h_{\mu \nu}$ содержит лишние степени свободы, соответствующие нефизическим значениям спиральности 0, ± 1. Поэтому, как и в случае электромагнитного поля, возможны два способа квантования: канонический и ковариантный. В первом случае для построения КТГ используется нековариантный гамильтонов формализм. При этом релятивистская ковариантность теории нарушается при выборе некоторой системы отсчёта и расщепления единого четырёхмерного пространства-времени на отдельные пространство и время [т. н. (3 + 1)-расщепление], после чего все нефизические степени свободы могут быть исключены, а все физические результаты не зависят от выбора системы отсчёта. Это направление в КТГ называют также квантовой геометродинамикой.

При ковариантном квантовании гравитационного поля используется лагранжев формализм, который позволяет сохранить релятивистскую ковариантность на всех этапах вычислений. Нефизические степени свободы не исключаются явно, но их вклад во все физические процессы компенсируется введением вспомогательных полей (дýхов Фаддеева – Попова), обладающих неправильной связью спина со статистикой. Канонический и ковариантный способы квантования формально эквивалентны во всех порядках по $h_{\mu \nu}.$

Однако практический расчёт физических процессов в высших порядках теории возмущений по $h_{\mu \nu},$ для которых диаграммы Фейнмана содержат более одной замкнутой гравитонной петли (замкнутая петля изображает пару виртуальных гравитонов), оказывается невозможным из-за неперенормируемости КТГ, основанной на лагранжиане ОТО. В лагранжиан ОТО входит размерная константа $l^{-2}_{\text{Pl}}.$ Поэтому диаграммы, содержащие всё большее количество гравитонных петель, формально приводят к появлению бесконечного числа расходящихся радиационных поправок к лагранжиану ОТО, которые нельзя устранить перенормировкой. Если ограничиться расчётом только тех диаграмм Фейнмана, в которых внешние гравитонные линии соответствуют реальным гравитонам, то диаграммы, содержащие только одну гравитонную петлю, оказываются конечными. Поэтому КТГ на массовой поверхности конечна в однопетлевом приближении. Начиная с диаграмм Фейнмана, имеющих две гравитонные петли, КТГ не является конечной даже на массовой поверхности.

Существуют три подхода к проблеме неперенормируемости КТГ. Первый связан с переходом к квантовой супергравитации и с надеждой найти такую теорию, которая, несмотря на наличие размерной константы в лагранжиане, окажется конечной на массовой поверхности. Из-за наличия дополнительной симметрии число расходимостей в квантовой супергравитации уменьшается. В частности, уже простейшая т. н. $N=1$ супергравитация, содержащая, кроме гравитона, безмассовую фермионную спиральную частицу со спином ³/₂ (гравитино), оказывается конечной на массовой поверхности в двухпетлевом приближении. Пока не удалось построить ни одного варианта квантовой супергравитации, которая была бы конечна в трёхпетлевом приближении.

В другом, альтернативном подходе в лагранжиан ОТО добавляются квадратичные по тензору Риччи общековариантные члены, коэффициенты при которых оказываются безразмерными; эта процедура ведёт к построению перенормируемой КТГ. Как и в других перенормируемых квантовых теориях, для констант связи этого варианта КТГ можно написать уравнения ренормализационной группы. Возникающая в результате этого зависимость констант связи от энергии отвечает случаю асимптотической свободы, т. е. константы логарифмически убывают с ростом энергии $\mathscr E$ при $\mathscr E \gg m_{\text{Pl}}c^2.$ В такой КТГ, помимо обычного гравитона, содержатся ещё две массивные, универсально взаимодействующие частицы со спином 0 и со спином 2. Массы покоя этих частиц порядка $m_{\text{Pl}},$ умноженной на безразмерные константы связи. Учёт радиационных поправок приводит к нестабильности массивных частиц: они могут распадаться на пару гравитонов или пару частица-античастица любых квантовых негравитационных полей. Массивная частица со спином 2 представляет собой основную трудность для данного подхода: она является или тахионом (масса покоя мнимая), или, при другом знаке константы связи, «духом», в этом случае масса действительна, но энергия отрицательна.

Третий, ныне наиболее популярный подход связан с идеей построения квантовой теории всех взаимодействий (включая гравитационное) без УФ-расходимостей на основе нелокальных фундаментальных объектов – суперструн. Доказано, что в низкоэнергетическом $(\mathscr E \ll m_{\text{Pl}}c^2)$ пределе теории суперструн возникает ОТО с гравитонами. Квантовые поправки к ОТО, которые должны вытекать из теории суперструн и её дальнейшего обобщения (т. н. М-теории), ещё не рассчитаны количественно. В любом варианте КТГ следует ожидать, что на масштабах порядка $l_{\text{Pl}}$ относительные квантовые флуктуации метрического тензора $g_{\mu \nu}$ становятся порядка единицы, в результате чего понятие классической геометрии пространства-времени теряет смысл. В этих условиях может испытывать сильные флуктуации также и топология пространства-времени (в классической ОТО топология задаётся как начальное условие и не изменяется с течением времени). При усреднении по масштабам $l \gg l_{\text{Pl}}$ эти флуктуации сглаживаются.

Теория негравитационных квантовых полей в искривлённом пространстве-времени

Это направление в квантовой теории тяготения исследует методы квантования негравитационных полей на фоне классического гравитационного поля (которое описывается метрическим тензором искривлённого пространства-времени), а также связанные с этим квантовые физические процессы в сильных гравитационных полях. Гравитационное поле приводит к изменению свойств физического вакуума, возникают эффекты поляризации вакуума и рождения пар частица-античастица. Аналогичные эффекты имеют место и, например, для электронно-позитронного вакуума классического электромагнитного поля; разница связана лишь с универсальностью взаимодействия гравитационного поля со всеми физическими квантовыми полями. Одной из важнейших величин, характеризующих оба этих эффекта, является среднее значение оператора тензора энергии – импульса квантового поля $\langle \hat T_\mu ^\nu \rangle=\langle \hat\Psi|T_\mu ^\nu|\Psi \rangle$ по некоторому вектору состояния $|\Psi \rangle,$ который задаётся начальными условиями. Если пространство-время плоское при $t \to - \infty,$ то обычно берут физический вакуум в пространстве-времени Минковского (при $t \neq - \infty$ это состояние в общем случае уже не является вакуумом из-за эффекта рождения частиц). Для вычисления необходимо провести регуляризацию расходящихся интегралов. При произвольном $|\Psi \rangle$ эта регуляризация может быть проведена общековариантным образом. Для невзаимодействующих квантовых полей она сводится к перенормировке четырёх констант в лагранжиане гравитационного поля: космологической постоянной $Λ,$ гравитационной постоянной $G$ и двух безразмерных констант, стоящих перед двумя общековариантными выражениями, квадратичными по тензору Риччи $R_{\mu \nu}.$ Теории взаимодействующих квантовых полей, перенормируемые в плоском пространстве-времени, остаются перенормируемыми и в искривлённом классическом пространстве-времени.

Поскольку гравитационная постоянная $G$ не входит в уравнения движения физических полей в искривлённом пространстве-времени, она не входит и в $\langle \hat T^\nu_ \mu \rangle.$ Поэтому для рассматриваемых процессов характерной длиной является нe $l_{\text{Pl}},$ a связанная с интенсивностью гравитационного поля длина $l_\text{g}=(R_{\mu \nu \rho \sigma}R^{\mu \nu \rho \sigma})^{-1/4},$ где $R_{\mu v \rho \sigma}$ – тензор кривизны Римана. В большинстве интересных для приложений случаев (метрики космологических моделей и метрики чёрных дыр в окрестности их гравитационного радиуса) масштаб, на котором гравитационное поле существенно изменяется, также порядка $l_\text{g}.$ Тогда условие $l_\text g \gg l_\text{Pl}$ есть условие возможности классического описания гравитационного поля. Вклад в $\langle \hat T^\nu_\mu \rangle$ эффектов поляризации вакуума и рождения пар частиц в общем случае разделить нельзя; типичная величина плотности вакуумной энергии квантовых полей с массой покоя частиц $m \ll \hbar/cl_\text{g}$ (в том числе безмассовых) оказывается порядка $\varepsilon_{вак}=\langle \hat T_0^0 \rangle \sim \hbar c/l^4_\text{g}.$ Если рождение частиц не подавлено какой-либо специальной симметрией пространства-времени, то при $m \ll \hbar/cl_\text{g}$ энергия рождающихся частиц $\mathscr E \sim \hbar c/l_\text{g},$ а локальная скорость изменения плотности числа частиц $n$ за счёт их рождения (при усреднении по пространственно-временны́м масштабам много большим $l_\text{g}$) пропорциональна $cl_\text{g}^{-4}.$ В противоположном случае $m \gg \hbar/cl_\text{g}$ рождение частиц экспоненциально подавлено, а вакуумный тензор энергии-импульса определяется только поляризацией вакуума, $\varepsilon_{вак} \sim \hbar^3/cm^2l^6_\text{g}.$ Методы теории квантовых полей в искривлённом пространстве-времени находят практическое приложение для расчёта физических эффектов в квантовой космологии и квантовой теории чёрных дыр.

Квантовая космология

Квантовая космология представляет собой применение квантовой теории тяготения (в том числе теории негравитационных квантовых полей в искривлённом пространстве-времени) к начальным стадиям расширения Вселенной вблизи сингулярности. Наиболее важное достижение квантовой космологии – построение инфляционной модели Вселенной, в которой Вселенная на раннем этапе своей эволюции проходила через де-ситтеровскую (инфляционную) стадию экспоненциального расширения.

Эффекты квантовой теории тяготения проявляются в инфляционной модели Вселенной двояким образом. Во-первых, само существование инфляционной стадии может быть связано с квантовыми поправками к ОТО (другая возможность – гравитационное отталкивание, вызванное потенциальной энергией некоторого скалярного поля, возникающего в супергравитационных теориях). Во-вторых, разновидностью эффекта рождения частиц является эффект усиления вакуумных квантовых флуктуаций этого скалярного поля. Этот эффект приводит к стохастической эволюции скалярного поля и метрики пространства-времени на инфляционной стадии, зависимости продолжительности этой стадии от пространственных координат и к появлению возмущений метрики пространства-времени (отклонений от однородности и изотропии) скалярного типа, что позднее ведёт к образованию галактик и их скоплений в современной Вселенной и к появлению стохастических угловых флуктуаций температуры реликтового излучения с характерной относительной величиной ∼10^–5 и гауссовой статистикой. Эти теоретические предсказания были подтверждены в 1992 г. по результатам космических экспериментов «Реликт-1» и COBE и в последующих экспериментах, что явилось первым примером наблюдаемого эффекта, связанного с квантованием метрики пространства-времени. Кроме того, чисто квантовый гравитационный эффект рождения гравитонов на инфляционной стадии ведёт к возникновению изотропного нетеплового фона стохастических гравитационных. волн. Из наблюдательного верхнего предела на величину этого фона следует, что величина $l_\text{g}$ на наблюдаемой в настоящее время части инфляционной стадии больше $5 \cdot 10^4 l_{\text{Pl}}.$

Квантовая теория чёрных дыр

Эта теория исследует эффекты рождения частиц и поляризации вакуума в гравитационном поле чёрных дыр (ЧД). Основной результат состоит в том, что невращающаяся ЧД массы $M$ излучает рождённые кванты как термодинамически равновесное тело и в результате «испаряет» в окружающее пространство свою массу (эффект Хокинга, 1974). Рождение частиц происходит из-за существования горизонта событий ЧД и нестатичности метрики пространства-времени под горизонтом. Излучение частиц, рождённых чёрной дырой, подчиняется закону Кирхгофа. Спектр излучения ЧД близок к спектру излучения чёрного тела; отличие связано с тем, что ЧД не является абсолютно поглощающей для падающего на неё излучения (или квантовых частиц) с длиной волны больше или равной гравитационному радиусу ЧД. Для ЧД с массой порядка массы Солнца (2·10³³ г) эффект количественно ничтожен, но важен в принципиальном отношении, поскольку приводит к конечности времени существования ЧД: $t_{ЧД} (с)≈ 10 –27 M^3\ _{ЧД} (г).$ Эффект Хокинга мог бы быть наблюдаем непосредственно для ЧД с малой массой M∼ 10¹⁵ г, находящихся достаточно близко от Земли. Такие ЧД не могут возникнуть в результате коллапса звёзд, но они могли образоваться на ранних стадиях эволюции Вселенной (т. н. первичные ЧД). С течением времени вследствие уменьшения массы ЧД скорость её испарения возрастает. Процесс завершается «квантовым взрывом» ЧД, когда за последнюю секунду её жизни выделяется энергия около 10²³ Дж.

Для вращающейся ЧД, кроме эффекта Хокинга, существует эффект рождения частиц, связанный с наличием у неё эргосферы. Квантовые гравитационные эффекты приводят также к кардинальной перестройке внутреннего строения вращающихся или электрически заряженных ЧД под их горизонтом событий, к запрету на образование белых дыр во Вселенной и к существованию нижнего предела массы ЧД: $M_{ЧД} > m_{\text{Pl}}.$

Многомерные единые теории поля

К квантовой теории тяготения непосредственно примыкают многомерные единые теории всех взаимодействий, включая гравитационное. Объединение пространственно-временнóй симметрии с внутренними и калибровочными симметриями сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий достигается в этих теориях при введении искривлённого пространства-времени размерности $4+d,$ где $d$ – натуральное число (одна координата из четырёх является временнóй, остальные – пространственными). Предполагается, что дополнительные $d$ измерений каким-либо образом компактифицируются в замкнутое $d$-мерное пространство (в простейшем случае – в $d$-мерную сферу) с характерными размерами порядка $l_{\text{Pl}}.$ Симметрия этого $d$-мерного пространства определяет симметрию сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий. Для макроскопического наблюдателя в четырёхмерном мире такие теории содержат бесконечное число квантовых полей. При этом кванты тех полей, которые не зависят от координат $d$-мерного пространства, имеют массу покоя $m \ll m_{\text{Pl}},$ а остальные являются очень тяжёлыми $(m \geq m_{\text{Pl}})$ и поэтому не проявляются в лабораторных экспериментах. Первый, простейший вариант такой теории $(d=1)$ рассматривался ещё в 1920-х гг. немецким физиком Т. Калуцой и шведским физиком О. Клейном. Наибольший интерес представляют 10-мерная теория $(d=6),$ которая возникает в низкоэнергетическом $(\mathscr E \ll m_{\text{Pl}}c^2)$ пределе более фундаментальной теории двумерных объектов – суперструн, и 11-мерная теория, появляющаяся в некотором пределе $М$-теории (см. Теория Калуцы – Клейна).