Тео́рия фу́нкций, раздел математики, в котором изучаются общие свойства функций. Теория функций распадается на две части: теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного.

В «классическом» математическом анализе основным объектом изучения являются непрерывные функции, заданные на конечных или бесконечных интервалах и обладающие той или иной степенью гладкости. Однако уже со 2-й половины 19 в. развитие математики стало требовать систематического изучения функций более общего типа. Основной причиной этого является то, что предел последовательности непрерывных функций может быть разрывен. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа – предельного перехода. В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классических средств, как тригонометрические ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми. Разрывны могут быть производные непрерывных функций. Наконец, дифференциальные уравнения, возникающие при изучении физических задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функций, но имеют их в более широких классах (если надлежащим образом изменить само понятие решения). Весьма важно, что именно эти обобщённые решения и дают ответ на исходную физическую задачу. Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание теории функций действительного переменного.

Отдельные частные факты теории функций действительного переменного были открыты ещё в 19 в. (существование рядов непрерывных функций с разрывной суммой, примеры нигде не дифференцируемых непрерывных функций, не интегрируемых функций и т. п.). Однако эти факты воспринимались обычно как «исключения из правил» и не объединялись никакими общими схемами. Лишь в начале 20 в., когда в основу изучения функций были положены методы теории множеств, стала систематически развиваться современная теория функций действительного переменного.

Различаются три направления в теории функций действительного переменного: 1) метрическая теория функций, где свойства функций изучаются при помощи меры множеств, на которых эти свойства имеют место. В метрической теории функций с общих точек зрения изучаются интегрирование и дифференцирование функций, различными способами обобщается понятие сходимости функциональных последовательностей, исследуется строение достаточно общих разрывных функций. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрической теории функций, являются измеримые функции; 2) дескриптивная теория функций, в которой основным объектом изучения является операция предельного перехода; 3) конструктивная теория функций, изучающая вопросы изображения произвольных функций при помощи надлежащих аналитических средств.