Фу́нкция Ри́мана, 1) функция Римана в теории тригонометрических рядов – функция, введённая Б. Риманом (1851) (Риман. 1948) для изучения вопроса о представимости функции тригонометрическим рядом. Пусть дан ряд$$\tag{*}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$$с ограниченными последовательностями $\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$. Функцией Римана для этого ряда называется функция $F(x)$, полученная почленным двукратным интегрированием данного ряда:$$\begin{gathered} F(x)=\frac{a_0 x^2}{4}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)+C x+D, \\ C, D=\text { const. } \end{gathered}$$Теоремы Римана. 1) Пусть ряд (*) сходится в точке $x_0$ к числу $S$. Тогда производная Шварца $D_2 F\left(x_0\right)=S$. 2) Пусть $a_n$, $b_n \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Тогда в любой точке $x$$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{F(x+h)+F(x-h)-2 F(x)}{h}=0,$$причём сходимость на любом промежутке равномерная, т. е. $F(x)$ – равномерно гладкая функция.

Если ряд (*) сходится на $[0,2 \pi]$ к $f(x)$ и $f(x) \in L[0,2 \pi]$, то $D_2 F(x)=f(x)$ на $[0,2 \pi]$ и$$F(x)=\int_0^x d t \int_0^t f(u) d u+C x+D.$$Пусть $a_n$, $b_n \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ и пусть$$\underline{S}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x) \quad\text { и }\quad \overline{S}(x)=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} S_n(x)$$конечны в точке $x$, а$$S(x)=\frac{1}{2} (\underline{S}(x)+\overline{S}(x)),\quad \delta(x)=\frac{1}{2}(S(x)-\underline{S}(x)).$$Тогда нижняя и верхняя производные Шварца $\underline{D_2} F(x)$ и $\overline{D}_2 F(x)$ принадлежат $[S-\mu \delta, S+\mu \delta]$, где $\mu$ – некоторая абсолютная постоянная (лемма Дюбуа-Реймонa).

2) Функция Римана в теории дифференциальных уравнений – см. статью Метод Римана.