Произво́дственная фу́нкция, функция, ставящая в соответствие объёмам затратных статей (производственных факторов) максимальный объём выпуска, который может быть произведён при заданных затратах и технологии. Статей затрат может быть несколько, но производственная функция описывает наибольший выпуск лишь одного продукта.

Производственная функция и её аргументы

Формальное определение производственной функции следующее:

$$f( \vec{x} )= \max_{y} \{ y \in R_{≥0}│( \vec{x} ,y) \in T \} ,$$где $f$ – производственная функция; $\vec{x}=(x_1,x_2,…,x_n)$ – вектор объёмов $n$ видов затрат (его элементы неотрицательные); $y$ – неотрицательный объём выпуска единственного продукта; $R_{≥0}$ – множество неотрицательных вещественных чисел; $( \vec{x} ,y)$ – т. н. производственный план, вектор из объёмов затрат и выпуска; $T$ – множество выполнимых производственных планов, т. е. технология.

Производственная функция – способ описания множества выполнимых производственных планов, технологии. При конкретных условиях задание производственной функции эквивалентно заданию технологии: $T= \{ ( \vec{x} ,y):0≤y≤f(\vec{x}) \}$.

Производственная функция описывает не наблюдаемый выпуск какого-либо производителя, а лишь то, насколько большим этот выпуск может быть при заданных объёме затрат и технологии. При этом аргументы производственной функции – показатели объёма, количества (например, тонны топлива, человеко-часы живого труда и т. д.), а не стоимостные величины (издержки), которые представляют собой произведение объёма и цены.

Определение элементов вектора затрат $\vec{x}$, а именно точное перечисление затрат производства и их измерение, – сложная экономическая задача. Затраты должны быть редкими, т. е. их запас не может быть неисчерпаемым. Кроме того, затратами часто считают такие величины, которые хотя бы теоретически могут быть предметом управления. Так, в качестве затрат не принято учитывать количество солнечного света, которое получает участок пашни.

В зависимости от того, объём всех ли видов затрат возможно изменить, различают кратко- и долгосрочные производственные функции. В краткосрочных часть затрат – параметры, а не переменные величины, тогда как в долгосрочных все факторы производства являются переменными.

Чаще всего используют не полный список однородных видов затрат, а их агрегаты. В таком случае говорят об агрегатной производственной функции. Например, аргументами производственной функции могут быть затраты (т. н. поток услуг) живого труда и основного капитала. При этом в производстве задействован труд разных рабочих и используются разные виды основного капитала (различные здания, сооружения, машины и т. п.). Подобное обобщение как затрат, так и выпуска спорно, поскольку разные дробные виды затрат не всегда можно заменять другими видами затрат. Это порождает проблему агрегирования, разработки индексов.

Выбор затрат определяет и меру выпуска агрегатной производственной функции. Так, если затратами объявляется только поток услуг живого труда и основного капитала, то мерой выпуска должен быть объём добавленной стоимости, а если среди затрат есть и т. н. промежуточные (услуги подрядчиков, затраты материалов и энергии), то объём продукта измеряется валовым выпуском. Такие связи вытекают из определений в системе национальных счетов и значимы при оценке изменения производительности (стран, отраслей, предприятий и т. д.). Различные модели в теории экономического роста в состав аргументов агрегатной функции включают также человеческий капитал, в частности показатель здоровья рабочей силы. Кроме того, в теории экономического роста с помощью производственной функции моделируют и само создание технологий, так что в известном смысле производственные функции представляются значениями более общей производственной метафункции.

С проблемой определения аргументов производственной функции и её значения связана критика практического применения агрегатной функции в «кембриджских спорах», названных так австралийским экономистом Дж. Харкортом (1931–2021) потому, что одну сторону в этих спорах представляли последователи неоклассического подхода из Кембриджского университета в США, а другую – учёные, связанные с одноимённым университетом в Великобритании. Так, Дж. Робинсон (английский Кембридж) писала: «...производственная функция стала мощным средством плохого образования. Студента… учат писать $O=f(L,C)$, где $L$ – количество труда, $C$ – количество капитала, а $O$ – уровень выпуска товаров. Студента учат предполагать, что все работники одинаковые, и измерять $L$ в человеко-часах труда; студенту что-то говорят о проблеме индексов при выборе единицы измерения выпуска; но затем спешат перейти к следующему вопросу в надежде, что студент забудет спросить, в каких единицах измеряется $C$. Прежде чем студент успеет спросить, он станет профессором, так что привычка небрежного мышления передаётся от одного поколения к другому» (Robinson. 1953. P. 81). На это Р. Солоу (американский Кембридж) отвечал, что производственная функция – педагогический приём и «если бы Бог желал, чтобы было больше двух факторов производства, рисовать трёхмерные диаграммы не было бы так трудно» (Solow. 1955. P. 101). Этот спор не был разрешён из-за смерти виднейших критиков производственной функции. Несмотря на признание критики агрегатной функции даже сторонниками неоклассического направления в 1970-х – начале 1980-х гг., такая функция остаётся не просто педагогическим приёмом, но и основой прикладных статистических оценок и теорий экономического роста (Cohen. 2003).

Полемика по поводу определения состава и выбора меры затрат применима к любому способу задания множества выполнимых производственных планов. Среди различных методов решения этой задачи подход производственной функции является наиболее ограничительным, т. к. применим лишь тогда, когда есть один и только один вид выпуска и этот выпуск однородный. Можно представить, что для каждого производимого товара задана своя производственная функция, но тогда придётся либо допустить независимость производственных процессов, либо явно описать их зависимость. Первое маловероятно, а для второго редко имеются достаточные сведения. Именно поэтому в более общей теории производства, особенно при измерении эффективности некоммерческой деятельности, предпочтительны другие способы задания технологии – функции расстояния. При этом производственную функцию можно выразить через функцию расстояния. Так, если $D_{O} ( \vec{x} ,y)$ – значение функции расстояния Шепарда по выпуску, то $f( \vec{x} ) \equiv \frac {y}{D_{O}(\vec{x},y)}$.

Ограничения производственной функции

Среди разных свойств производственной функции, часто требуемых от неё в теории производства, наиболее распространены следующие:

• значение функции конечно и является неотрицательным действительным числом;

• чтобы значение функции было положительным, хотя бы один её аргумент должен быть положительным, т. е. невозможно произвести что-либо, ничего не затратив («слабая существенность», англ. weak essentiality);

• функция является неубывающей;

• функция вогнута вниз, т. е. принимается закон убывающей предельной производительности;

• функция непрерывно дифференцируема.

Показатели, которые рассчитываются по дифференцируемой производственной функции

Если производственная функция непрерывно дифференцируема, можно рассчитать предельный продукт $i$-го вида затрат (см. Предельный продукт капитала и Предельный продукт труда), эластичность выпуска по этому виду, эластичность масштаба, предельную норму технического замещения и эластичность замещения.

Предельный физический продукт $i$-го вида затрат представляет собой частную производную данной функции по объёму этого вида: $f_i ( \vec{x} )=\frac{∂f(\vec{x})}{(∂x_i )}$.

Эластичность выпуска по $i$-му виду затрат показывает, на сколько процентов вырастет выпуск, если объём данного вида увеличится на 1 %, а другие затраты останутся неизменными:

$$η_i ( \vec{x} )=\frac{∂ ln⁡f( \vec{x} )}{∂ ln⁡(x_i)}.$$Величину $η_i ( \vec{x} )$ можно представить как частное от деления предельного продукта $i$-го вида затрат на его средний физический продукт, $\frac{f( \vec{x} )}{x_i}$ (см. Средний продукт капитала и Средний продукт труда).

Эластичность масштаба показывает, на сколько процентов вырастет выпуск, если все затраты увеличатся на 1 %:

$$ε= \sum_{i=1}^{n} η_i( \vec{x} ).$$Эластичность масштаба – локальная мера эффекта масштаба, т. к. определяется для заданного вектора $\vec{x}$. Эту меру, назвав её эластичностью производства, ввёл в 1913 г. британский философ, логик и экономический теоретик У. Э. Джонсон (Johnson. 1913. P. 507).

Локальный эффект масштаба может зависеть от объёма затрат. В частности, когда затраты малы, их увеличение может несоразмерно больше повышать максимально возможный выпуск (например, благодаря возможности применения разных специальных машин для разных операций), но в какой-то точке рост затрат перестаёт давать соразмерную прибавку к максимальному выпуску (например, из-за усложнения управления производством, нехватки пространства). Говорят, что у технологии, заданной производственной функцией, есть глобальный эффект масштаба, если значения меры локального эффекта масштаба ограничены при любом объёме затрат $\vec{x}$.

Показатель глобального эффекта масштаба представляет собой степень однородности производственной функции. У технологии с одним видом выпуска глобально нет эффекта масштаба только при условии, что её производственная функция является однородной первой степени. Этот эффект масштаба положительный, если степень однородности больше 1, и отрицательный – если меньше.

На основе предельного продукта определяется не только эластичность выпуска и масштаба, но и показатели лёгкости замещения одного вида затрат другим. Частное от деления предельного продукта $i$-го вида затрат на предельный продукт $j$-го вида в данной точке, $\frac{f_i ( \vec{x} ))}{f_j ( \vec{x} ) }$, называется предельной нормой технического замещения $i$-го вида затрат $j$-м. Это отношение приближённо показывает, на сколько единиц нужно уменьшить объём $j$-го вида затрат, чтобы увеличить объём $i$-го вида на единицу, сохранив значение производственной функции неизменным.

Техническая норма замещения зависит от выбора единиц измерения. Этого недостатка нет у показателя эластичности замещения, предложенного независимо друг от друга Робинсон (1931) и английским экономистом Дж. Р. Хиксом (1932). Разработанная Хиксом мера определена, когда имеется только 2 вида затрат:

$$σ_{ij}=\frac{∂ ln⁡(\frac{x_i}{x_j })}{∂ ln⁡(\frac{ f_i ( \vec{x} )}{f_j ( \vec{x} )})}.$$Эластичность замещения по Хиксу (прямая эластичность замещения) показывает, на сколько процентов изменится отношение объёмов двух видов затрат, если соответствующая предельная норма технического замещения изменится на 1 %. Если абсолютная величина данной эластичности больше 1, возможно сэкономить относительно большой объём одного вида затрат за счёт относительного небольшого увеличения другого вида. Если эта величина меньше 1, заместить один вид затрат другим сложно.

Обобщения эластичности Хикса для случая двух и более видов затрат – частичная эластичность замещения Аллена (Allen. 1938. P. 503–505) или Морисимы (Blackorby. 1981).

Виды производственных функций

Из-за математической простоты наиболее распространённой формой производственной функции в экономических исследованиях является функция Кобба – Дугласа:

$$f( \vec{x} )=α_0 \ \prod_{i=1}^{n}x_i^{α_i } ; α_0, α_i>0,$$где $α_0,α_i$ – параметры производственной функции (здесь и далее). Параметр $α_i$ равен эластичности выпуска по $i$-му виду затрат, а $\sum_{i=1}^{n}α_i$ – эластичности масштаба. Если последняя сумма меньше 1, эффект масштаба отрицательный; если равна 0, этого эффекта нет; если больше 0 – положительный.

Если $\sum_{n}^{i=1}α_i=1$, функция Кобба – Дугласа представляет собой просто взвешенное геометрическое среднее объёмов затрат.

Указанная производственная функция была применена американскими учёными Ч. У. Коббом и П. Г. Дугласом для описания экономики США в известной статье 1928 г. (Cobb. 1928), откуда следует общепринятое название этой функции. Однако впервые такую функцию использовал шведский экономист К. Викселль в докторской диссертации 1895 г.

Функция Кобба – Дугласа требует единичной эластичности замещения. В статье 1961 г. американские экономисты К. Дж. Эрроу, Х. Ченери, Б. Минхас и Солоу (Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency. 1961) рассмотрели производственную функцию с произвольной постоянной эластичностью замещения, называемую также CES-функцией (от англ. constant elasticity of substitution, CES) и ACMS-функцией (по первым буквам фамилий авторов статьи: Arrow, Chenery, Minhas, Solow):

$$f( \vec{x} )=α_0( \sum_{i=1}^{n}α_i x_i^{ρ })^{\frac{1}{ρ}}; α_0,α_i>0;- \infty <ρ \leq 1,$$где $ρ$ – параметр, связанный с эластичностью замещения $σ$ соотношением $σ=\frac{1}{1-ρ}$, а параметры $α_i$ часто принимают такими, что $\sum_{n}^{i=1}α_i=1$.

Если $a_0=1$, а $ρ=-1$, так что $σ=-1$, то функция с постоянной эластичностью замещения – просто взвешенное гармоническое среднее затрат $\vec{x}$. CES-функцией задают не только производственную функцию, но и, как правило, функцию полезности и др.

Две крайности производственной CES-функции – функция Леонтьева и линейная функция. Первая получается из CES-функции, когда $ρ→- \infty$, а вторая – когда $ρ→1$.

Функция Леонтьева определяется следующей формулой:

$$f( \vec{x} )=α_0 \min_{i} \{ α_i x_i \} ,α_0,α_i>0.$$Производственная функция Леонтьева – модель с фиксированными пропорциями объёмов различных затрат, т. е. ни один вид затрат нельзя заменить каким-либо другим. Линейная функция $f( \vec{x} )=α_0 \sum_{i=1}^n{}α_i x_i$ в этом противоположна функции Леонтьева: любой вид затрат можно свободно заменить любым другим.

В теории экономического роста особое место занимает неоклассическая производственная функция, поскольку она разделяет 2 группы подходов к объяснению различий между странами по доходам и темпам экономического роста: теории экзогенного (с неоклассической производственной функцией) и эндогенного долгосрочного экономического роста (см. статью Макроэкономический анализ). Производственная функция является неоклассической, если удовлетворяет одновременно трём условиям:

1) нет эффекта масштаба, т. е. $\forall λ>0 f(λ \vec{x} )=λf(\vec{x})$;

2) предельные продукты – положительные, но убывающие функции, т. е. $\forall{i} \frac{∂f( \vec{x} )}{∂x_i}>0, \frac{∂^2f( \vec{x} )}{∂x_i^2}<0$;

3) предельный продукт любого вида затрат стремится к бесконечности, когда объём данного вида затрат стремится к 0, и стремится к 0, когда этот объём стремится к бесконечности, т. е. $\forall{i}  \lim_{x_i \rightarrow 0}\frac{∂f( \vec{x} )}{∂x_i}= \infty, \lim_{x_i \rightarrow \infty}\frac{∂f( \vec{x} )}{∂x_i}=0$ (условия Инады).