И́ндексы (в статистике) (от лат. index – указатель, показатель), показатели относительного изменения данного уровня исследуемого явления по сравнению с другим его уровнем, принятым за базу сравнения. В качестве такой базы может быть использован уровень за какой-либо прошлый период времени (динамические индексы) или уровень того же явления на другой территории (территориальные индексы).

Индивидуальные индексы

Простейший показатель, используемый в индексном анализе, – индивидуальный индекс, характеризующий изменение во времени экономических величин, относящихся к одному объекту. Так, индивидуальный индекс цены рассчитывается следующим образом:

$i_{p} = \frac{p_{1}}{p_{0}} ,$

где $p_{1}$ – цена товара в текущем периоде; $p_{0}$ – цена товара в базисном (предшествующем) периоде.

Данный индекс показывает, как выросла или снизилась цена товара в текущем периоде по сравнению с базисным периодом.

Изменение физического объёма проданного/произведённого товара в натуральном выражении измеряется индивидуальным индексом физического объёма реализации/производства:

$i_{q} = \frac{q_{1}}{q_{0}} ,$

где $q_{1}$ – количество товара в текущем периоде; $q_{0}$ – количество товара в базисном (предшествующем) периоде.

Изменение стоимостного объёма товарооборота по данному товару отражается в значении индивидуального индекса товарооборота. Для его расчёта товарооборот текущего периода (произведение цены на количество проданного товара) сравнивается с товарооборотом предшествующего периода:

$i_{pq} = \frac{p_{1}q_{1}}{p_{0}q_{0}} .$

Данный индекс также может быть получен как произведение индивидуального индекса цены и индивидуального индекса физического объёма реализации.

Сводные индексы

В отличие от индивидуальных индексов сводные индексы позволяют обобщить показатели по нескольким видам товаров, нескольким видам продукции, по ценным бумагам нескольких эмитентов и т. д. Исходной формой сводного индекса является агрегатная форма. Сводные индексы также могут исчисляться в среднеарифметической и среднегармонической формах.

Сводный индекс товарооборота в агрегатной форме показывает изменение стоимостного объёма товарооборота по товарной группе. При этом совокупный объём товарооборота по n товарам в текущем периоде определяется по формуле:

$p_1^1q_1^1 + p_1^2q_1^2 + p_1^3q_1^3 +...+p_1^nq_1^n = \sum p_{1}q_{1} .$

Аналогично определяют совокупный объём товарооборота для базисного периода:

$p_0^1q_0^1 + p_0^2q_0^2 + p_0^3q_0^3 +...+p_0^nq_0^n = \sum p_{0}q_{0} .$

Сводный индекс товарооборота получают как отношение данных агрегатов:

$I_{pq} = \frac{\sum p_{1}q_{1} }{\sum p_{0}q_{0} } .$

Величина индекса товарооборота формируется под воздействием двух факторов – на неё оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объёмов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), количество проданных товаров (вес индекса) фиксируют на каком-либо постоянном уровне. Таким способом получают сводные индексы цен.

Сводный индекс физического объёма реализации характеризует изменение количества проданных товаров по той или иной товарной группе; при этом входящие в группу товары могут быть непосредственно несоизмеримы, существенно отличаться по своим характеристикам, в том числе и по единицам измерения (предположим, часть товаров измеряется в килограммах, часть – в штуках, часть – в литрах). Весами в данном случае выступают цены, которые фиксируются на уровне базисного или текущего периода, например:

$I_{q} = \frac{\sum q_{1}p_{0} }{\sum q_{0}p_{0} } .$

Знаменатель данного индекса отражает фактический стоимостный объём товарооборота в базисном периоде. Числитель же – условная величина, показывающая, каким бы был стоимостный объём товарооборота в текущем периоде при условии сохранения цен на уровне базисного периода. В итоге данный индекс отражает изменение физического объёма реализации по группе товаров, объёмы которых непосредственно в натуральном выражении суммировать нельзя.

Между индексом товарооборота, цен и физического объёма реализации существует следующая взаимосвязь:

$I_{p} \cdot I_{q} = I_{pq}.$

Аналогично приведённым выше индексам рассчитываются и другие сводные индексы в агрегатной форме (себестоимости, урожайности и др.).

Индексы позволяют получать сводную оценку изменения наблюдаемых показателей постоянно – месяц за месяцем, год за годом. При этом для достижения сопоставимости они рассчитываются по единой методологии. Такая методология, или схема расчёта индексов за $n$ последовательных временны́х периодов, называется системой индексов.

Типы индексов

В зависимости от информационной базы и целей исследования индексная система может включать индексы цепные или базисные, с переменными или постоянными весами. Например, при расчёте индекса цен, если сравнивать цены каждого периода с ценами периода предшествующего, получаемая индексная система будет включать цепные индексы, отражающие изменение цен за каждый из периодов рассматриваемого временнóго интервала. При этом в качестве весов используют объёмы реализации каждого конкретного периода или же постоянные объёмы какого-либо периода, принятого в качестве базисного. В первом случае индексная система включает цепные индексы с переменными весами:

$I_{p1/0} = \frac{\sum p_{1}q_{1} }{\sum p_{0}q_{1} } ; I_{p2/1} = \frac{\sum p_{2}q_{2} }{\sum p_{1}q_{2} };$

$I_{p3/2} = \frac{\sum p_{3}q_{3} }{\sum p_{2}q_{3} } ;... I_{pn/n-1} = \frac{\sum p_{n}q_{n} }{\sum p_{n-1}q_{n} }.$

При использовании весов базисного периода получают цепные индексы цен с постоянными весами:

$I_{p1/0} = \frac{\sum p_{1}q_{0} }{\sum p_{0}q_{0} } ; I_{p2/1} = \frac{\sum p_{2}q_{0} }{\sum p_{1}q_{0} };$

$I_{p3/2} = \frac{\sum p_{3}q_{0} }{\sum p_{2}q_{0} } ;... I_{pn/n-1} = \frac{\sum p_{n}q_{0} }{\sum p_{n-1}q_{0} }.$

Использование постоянных весов более предпочтительно, поскольку рассчитываемые таким образом индексы мультипликативны, т. е. их можно последовательно перемножать и получать величину показателя за более продолжительный период. Так, например, располагая цепными индексами цен за три последовательных месяца, можно получить сводную оценку изменения цены в целом за квартал и т. п. Индексы с переменными весами такой возможности не предоставляют.

При сравнении цен каждого периода с ценами какого-либо базисного периода (как правило, начального) получаемая индексная система включает базисные индексы, отражающие изменение цен накопленным итогом, т. е. с начала рассматриваемого временнóго интервала (например, изменение цен в январе по сравнению с декабрём предшествующего года, в феврале – по сравнению с тем же декабрём и т. д.). При этом в качестве весов также можно использовать объёмы реализации каждого конкретного периода или же постоянные объёмы периода, принятого за базисный. Система базисных индексов с переменными весами имеет следующий вид:

$I_{p1/0} = \frac{\sum p_{1}q_{1} }{\sum p_{0}q_{1} } ; I_{p2/0} = \frac{\sum p_{2}q_{2} }{\sum p_{0}q_{2} };$

$I_{p3/0} = \frac{\sum p_{3}q_{3} }{\sum p_{0}q_{3} } ;... I_{pn/0} = \frac{\sum p_{n}q_{n} }{\sum p_{0}q_{n} }.$

Базисные индексы цен с постоянными весами рассчитываются по формулам:

$I_{p1/0} = \frac{\sum p_{1}q_{0} }{\sum p_{0}q_{0} } ; I_{p2/0} = \frac{\sum p_{2}q_{0} }{\sum p_{0}q_{0} };$

$I_{p3/0} = \frac{\sum p_{3}q_{0} }{\sum p_{0}q_{0} } ;... I_{pn/0} = \frac{\sum p_{n}q_{0} }{\sum p_{0}q_{0} }.$

Использование средних при расчёте сводных индексов

При расчёте индексов используют не только агрегатную, но и средние их формы – среднеарифметическую и среднегармоническую, т. к. любой сводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индексов индивидуальных. Использование средних форм связано с тем, что часть необходимой для расчёта индексов информации в ряде случаев отсутствует или данные базируются на результатах выборочных обследований, которые приобретают всё большее значение в статистической практике. Например, при расчёте сводного индекса цен по методу Пааше используют следующую замену:

$p_{0} q_{1} = \frac{1}{i_{p}} p_{1} q_{1} .$

Тогда сводный индекс цен будет выражен в форме средней гармонической:

$I_{p} = \frac{\sum p_{1}q_{1} }{\sum \frac{1}{i_{p}} p_{1}q_{1} } .$

Данный сводный индекс цен в среднегармонической форме соответствует сводному индексу Пааше в агрегатной форме. Для получения среднего индекса цен, соответствующего индексу Ласпейреса, в формуле последнего используется следующая замена:

$p_{1} q_{0} = {i_{p}} p_{0} q_{0} .$

С учётом этой замены сводный индекс цен в среднеарифметической форме имеет вид:

$I_{p} = \frac{\sum i_{p} p_{0}q_{0} }{\sum p_{0}q_{0} } .$

Среднеарифметическая и среднегармоническая формы также используются при расчёте сводного индекса физического объёма товарооборота и других индексов.

Индексы переменного, фиксированного состава структурных сдвигов

Индексы используются не только для оценки динамики показателей, характеризующих разнородные в качественном отношении совокупности (товарные группы). Даже если рассматриваемая совокупность однородна (товар одного вида), на величине результативного показателя – средней цены данного товара – отражается влияние структурных изменений, например изменений в структуре его реализации по территориям. В этом случае в индексном анализе используются индексы переменного и фиксированного состава, а также индексы структурных сдвигов.

Индекс цен переменного состава представляет собой соотношение средних значений цены данного товара за два рассматриваемых периода:

$I_p^{пс} = \frac{\sum p_{1}q_{1} }{\sum q_{1} } : \frac{\sum p_{0}q_{0} }{\sum q_{0} }.$

Значение индекса отражает изменение средней цены как за счёт изменения региональных уровней цен, так и за счёт изменений в структуре реализации товара по регионам. Воздействие структурного фактора оценивают на основе индекса структурных сдвигов, зафиксировав цены на уровне базисного периода:

$I_p^{стр} = \frac{\sum p_{0}q_{1} }{\sum q_{1} } : \frac{\sum p_{0}q_{0} }{\sum q_{0} }.$

Индекс цен фиксированного состава не учитывает структурные сдвиги, а характеризует изменение средней цены товара, обусловленное лишь изменением региональных цен:

$I_p^{фс} = \frac{\sum p_{1}q_{1} }{\sum q_{1} } : \frac{\sum p_{0}q_{1} }{\sum q_{1} }.$

Взаимодействие учитываемых в данных индексах факторов отражается следующей взаимосвязью:

$I_p^{фс} \cdot I_p^{стр} = I_p^{пс}.$

Территориальные индексы

В отличие от представленных выше динамических индексов территориальные индексы служат для сравнения показателей в пространстве, т. е. по городам, районам, областям и т. п. Важную роль играют территориальные индексы цен, являющиеся незаменимым инструментом исследования в практике международных сравнений уровней цен.

Построение территориальных индексов имеет определённые особенности, связанные с выбором базы сравнения и весов или уровня, на котором фиксируются веса. Один из вариантов расчёта территориальных индексов цен заключается в том, что в качестве весов принимаются объёмы проданных товаров $i$-го вида ($i=1,2,...,n)$ по двум территориям, вместе взятым:

$Q_{i} = q_{ia} + q_{ib},$

где $q_{ia}$ – количество $i$-го товара, проданного на территории $A$; $q_{ib}$ – количество $i$-го товара, проданного на территории $B$.

Территориальный индекс цен в этом случае рассчитывается по формуле:

$I_{pb/a}= \frac{\Sigma_{i=1}^n p_{ib} Q_{i} }{\Sigma_{i=1}^n p_{ia} Q_{i} },$

где $p_{ib}$ – цена $i$-го товара на территории $B$; $p_{ia}$ – цена $i$-го товара на территории $A$.

При расчёте территориальных индексов данным способом в их формуле вместо суммарных весов могут использоваться некоторые теоретические или стандартизованные веса; в качестве таких весов также может выступать структура продажи данных товаров по более крупному территориальному образованию.