Фини́тная фу́нкция, функция, определённая в некоторой области пространства $E^{n}$ и имеющая принадлежащий к этой области компактный носитель. Точнее, пусть функция $f(x)=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ определена на области $\Omega \subset E^{n}$. Носителем $f$ называется замыкание множества точек $x \in \Omega$, для которых $f(x)$ отлично от нуля ($f(x) \neq 0$). Таким образом, можно ещё сказать, что финитная функция в $\Omega$ есть такая определённая на $\Omega$ функция, что её носитель $\Lambda$ есть замкнутое ограниченное множество, отстоящее от границы $\Gamma$ области $\Omega$ на расстояние, большее, чем $\delta>0$, где $\delta$ достаточно мало.

Обычно рассматривают непрерывно дифференцируемые $k$ раз финитные функции, где $k$ – заданное натуральное число. Ещё чаще рассматривают бесконечно дифференцируемые финитные функции. Функция$$\psi(x)= \begin{cases}e^{-1 /(x^{2}-1)}, & |x|<1,\quad x^{2}=\sum_{j=1}^{n} x_{j}^{2}, \\ 0, & |x| \geqslant 1,\end{cases}$$может служить примером бесконечно дифференцируемой финитной функции в области $\Omega$, содержащей в себе шар $|x| \leqslant 1$. Множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций в области $\Omega \subset E^{n}$ обозначают $D$. Над $D$ определяют линейные функционалы (обобщённые функции). При помощи функций $v \in D$ определяют обобщённые peшения краевых задач.

B теоремах, посвящённых задачам на нахождение обобщённых решений, часто важно знать, является ли пространство $D$ плотным в некотором конкретно заданном пространстве функций. Известно, например, что если граница $\Gamma$ ограниченной области $\Omega \subset E^{n}$ достаточно гладкая, то $D$ плотно в пространстве функций$$\overset{0}{W}{}_{p}^{r}(\Omega)=\left\{f \in W_{p}^{r}(\Omega)\mid\frac{\partial^{s} f}{\partial n^{s}}\Big|_{\Gamma}=0,\quad s=0,1, \ldots, r-1\right\},$$($1 \leqslant p<\infty$), т. е. в пространстве функций класса $W_{p}^{r}(\Omega)$ Соболева, равных нулю на $\Gamma$ вместе со своими нормальными производными до порядка $r-1$ включительно ($r=1,2,\ldots$).