Трёхме́рное многообра́зие, топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную трёхмерному числовому пространству $\mathbb{R}^3$ или замкнутому полупространству $\mathbb{R}_{+}^3$. Это определение обычно дополняют требованием того, чтобы трёхмерное многообразие как топологическое пространство, было хаусдорфовым и имело счётную базу. Край трёхмерного многообразия, т. е. совокупность его точек, имеющих окрестность второго, но не первого типа, является двумерным многообразием без края. Методы топологии трёхмерных многообразий весьма специфичны, поэтому она занимает особое место в топологии многообразий.

Примеры. Несколько свойств трёхмерного многообразия, не имеющих, вообще говоря, места в старших размерностях: ориентируемое трёхмерное многообразие всегда параллелизуемо; замкнутое трёхмерное многообразие ограничивает некоторое четырёхмерное многообразие; на трёхмерном многообразии всегда можно ввести кусочно-линейную и дифференцируемую структуры, причём любой гомеоморфизм между двумя трёхмерными многообразиями можно аппроксимировать как кусочно-линейным гомеоморфизмом, так и диффеоморфизмом.

Один из наиболее употребительных способов задания трёхмерного многообразия состоит в использовании разбиений Хегора и тесно связанных с ними диаграмм Хегора. Суть этого способа состоит в том, что любое замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие $M$ можно разбить на два подмногообразия с общим краем, каждое из которых гомеоморфно стандартному полному кренделю $V$ некоторого рода $n$. Другими словами, трёхмерное многообразие $M$ можно получить склеиванием двух экземпляров полного кренделя $V$ по некоторому гомеоморфизму их краёв. Этот факт позволяет сводить многие задачи топологии трёхмерного многообразия к задачам топологии поверхностей. Минимальное возможное число $n$ называется родом трёхмерного многообразия $M$. Другой полезный способ задания трёхмерного многообразия основан на существовании тесной связи между трёхмерным многообразиями и зацеплениями в $S^3$. Дело в том, что любое замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие $M$ можно представить в виде $M=\partial W$, где четырёхмерное многообразие $W$ получается из 4-шара $B^4$ приклейкой ручек индекса 2 по компонентам некоторого оснащённого зацепления $L$ в $S^3=d B^4$. Эквивалентно, трёхмерное многообразие $M$ можно получить из сферы $S^3$ сферическими перестройками. Дополнительно можно добиться, чтобы все компоненты зацепления $L$ имели чётные оснащения, и тогда многообразие $W$ получается параллелизуемым. Часто используется представление трёхмерного многообразия в виде пространств разветвлённых накрытий сферы $S^3$. Если $L$ – зацепление в $S_-^3$, то любое конечнолистное накрывающее пространство пространства $S^3 \backslash L$ можно компактифицировать несколькими окружностями и получить замкнутое трёхмерное многообразие $M$. Естественная проекция $p: M \rightarrow S^3$, локально гомеоморфная вне $p^{-1}(L)$, называется разветвлённым накрытием сферы $S^3$ с ветвлением вдоль зацепления $L$. Любое трёхмерное многообразие рода 2 двулистно накрывает сферу с ветвлением вдоль некоторого зацепления, тогда как в случае трёхмерного многообразия произвольного рода можно гарантировать существование только трёхлистного накрытия с ветвлением вдоль некоторого узла.

Основной задачей топологии трёхмерного многообразия является задача их классификации. Трёхмерное многообразие $M$ называется простым, если из $M=M_1 \# M_2$ следует, что ровно одно из многообразий $M_1$, $M_2$ является сферой. Каждое компактное трёхмерное многообразие раскладывается в связную сумму конечного числа простых трёхмерных многообразий. Это разложение единственно в ориентируемом случае и единственно с точностью до замены прямого произведения $S^2 \times S^1$ на косое произведение $S^2 \mathbin{\tilde{\times}} S^1$ в неориентируемом случае. Вместо понятия простого трёхмерного многообразия часто бывает удобнее использовать понятие неприводимого трёхмерного многообразия, т. е. многообразия, в котором каждая 2-сфера ограничивает шар. Класс неприводимых трёхмерных многообразий отличается от класса простых трёхмерных многообразий ровно на три многообразия: $S^3$, $S^2 \times S^1$, $S^2 \mathbin{\tilde{\times}} S^1$. При этом многообразие $S^3$ неприводимо, но обычно не считается простым, а многообразия $S^2 \times S^1$ и $S^2 \tilde{\times} S^1$ просты, но приводимы. Неприводимые трёхмерные многообразия с краем изучены достаточно хорошо. Например, любую гомотопическую эквивалентность пар $f:(M, \partial M) \rightarrow(N, \partial N)$, где $M$, $N$ – компактные ориентируемые и неприводимые трёхмерные многообразия с краем, можно продеформировать в гомеоморфизм. В замкнутом случае для этого достаточно дополнительно потребовать, чтобы трёхмерное многообразие $M$ было достаточно большим, т. е. содержало некоторую двустороннюю несжимаемую поверхность. При этом поверхность $F \subset M$, $F \neq S^2$, называют несжимаемой, если индуцируемый вложением гомоморфизм группы $\pi_1(F)$ в группу $\pi_1(M)$ инъективен. Если первая группа гомологий компактного неприводимого трёхмерного многообразия бесконечна, то такая поверхность всегда существует. Любое компактное ориентируемое неприводимое достаточно большое трёхмерное многообразие, фундаментальная группа которого содержит бесконечную циклическую нормальную подгруппу, является многообразием Зейферта.