Алгебраи́чески за́мкнутое по́ле, поле $k$, в котором всякий многочлен ненулевой степени над $k$ имеет хотя бы один корень. В действительности из алгебраической замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени $n$ над $k$ имеет в $k$ ровно $n$ корней, т. е. каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов $k[x]$ имеет степень $1$. Поле $k$ алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраического расширения. Существует единственное с точностью до изоморфизма алгебраическое расширение поля $k$, являющееся алгебраически замкнутым полем; оно называется алгебраическим замыканием noля $k$ и обычно обозначается через $\overline k$. Всякое алгебраически замкнутое поле, содержащее $k$, содержит подполе, изоморфное $\overline k$.

Алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.