Лока́льное кольцо́, коммутативное кольцо с единицей, имеющее единственный максимальный идеал. Если $A$ – локальное кольцо с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, то факторкольцо $A /\mathfrak{m}$ является полем и называется полем вычетов локального кольца $A$.

Примеры локальных колец. Любое поле или кольцо нормирования является локальным. Локально и кольцо формальных степенных рядов $k[[X_1,\dots,X_n]]$ над полем $k$ или над любым локальным кольцом. Напротив, кольцо многочленов $k[X_1,\dots,X_n]$ при $n\geqslant1$ не локально. Пусть $X$ – топологическое пространство (или дифференцируемое многообразие, или аналитическое пространство, или алгебраическое многообразие), а $x$ – точка $X$. Пусть $A$ – кольцо ростков в точке $x$ непрерывных функций (соответственно, дифференцируемых, аналитических или регулярных функций); тогда $A$ – локальное кольцо, максимальный идеал которого состоит из ростков функций, обращающихся в $0$ в точке $x$.

К локальным кольцам приводят некоторые общие теоретико-кольцевые конструкции, важнейшей из которых является локализация. Пусть $A$ – коммутативное кольцо, а $\mathfrak{p}$ – простой идеал $A$. Кольцо $A_\mathfrak{p}$, которое состоит из дробей вида $\frac{a}{s}$, где $a \in A$, $s \in A$ – $\mathfrak{p}$, является локальным и называется локализацией кольца $A$ в $\mathfrak{p}$. Максимальным идеалом кольца $A_\mathfrak{p}$ является идеал $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$, а поле вычетов $A_\mathfrak{p}$ отождествляется с полем частных целостного факторкольца $A \mid \mathfrak{p}$. Другие конструкции, приводящие к локальным кольцам, – гензелизация или пополнение кольца относительно некоторого максимального идеала. Любое факторкольцо локального кольца также локально.

Свойство кольца $A$ (или $A$-модуля $M$, или $A$-алгебры $B$) называется локальным свойством, если выполнение его для $A$ (или $M$, или $B$) эквивалентно выполнению его для колец $A_\mathfrak{p}$ (соответственно модулей $M\otimes_A A_\mathfrak{p}$ или алгебр $B\otimes_A A_\mathfrak{p}$) для всех простых идеалов $\mathfrak{p}$ кольца $A$ (см. в статье Локальное свойство).

Степени $\mathfrak{m}^n$ максимального идеала $\mathfrak{m}$ локального кольца $A$ определяют базис окрестностей нуля т. н. топологии локального кольца (или $\mathfrak{m}$-адической топологии). Для нётерова локального кольца эта топология отделима (теорема Крулля), а любой его идеал является замкнутым.

Далее рассматриваются только нётеровы локальные кольца. Локальное кольцо называется полным локальным кольцом, если оно полно относительно $\mathfrak{m}$-адической топологии; в этом случае $A = {\lim\limits_{{\underset{n}{\longleftarrow}}} A/\mathfrak{m}^n}$. В полном локальном кольце $\mathfrak{m}$-адическая топология слабее любой другой отделимой топологии (теорема Шевалле). Любое полное локальное кольцо представляется как факторкольцо кольца $S[[X_1,\dots,X_n]]$ формальных степенных рядов, где $S$ – поле (в равнохарактеристическом случае) или полное кольцо дискретного нормирования (в случае разных характеристик). Эта теорема позволяет доказать, что полные локальные кольца обладают рядом специфических свойств, отсутствующих у произвольных нётеровых локальных колец (Nagata. 1962), например полное локальное кольцо является превосходным кольцом.

Более тонкое, количественное исследование локальных колец $A$ связано с применением понятия присоединённого градуированного кольца $\mathrm{Gr}(A)=\otimes_{n \geqslant 0} (\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1})$. Пусть $H_A(n)$ – размерность векторного пространства $\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$ над полем вычетов $A/\mathfrak{m}$; как функция целого аргумента $n$ она называется функцией Гильберта – Самюэля (или характеристической функцией) локального кольца $A$. При больших $n$ эта функция совпадает с некоторым многочленом $\overline{H}_A(n)$ от $n$, который называется многочленом Гильберта – Самюэля локального кольца $A$ (см. также в статье Многочлен Гильберта). Этот факт можно выразить в терминах ряда Пуанкаре: формальный ряд$$P_A(t) =\sum_{n \geqslant 0} H_A(n)\cdot t^n$$является рациональной функцией вида $f(t) (1-t)^{-d(A)}$, где $f(t) \in \mathbb Z [t]$ – многочлен, a $d(A)-1$ равно степени $\overline{H}_A$. Целое число $d(A)$ совпадает с размерностью (по Круллю) $\dim A$ кольца $A$ и является одним из важнейших инвариантов кольца. Кроме того, $d(A)$ равно наименьшему числу элементов $a_1, \dots, a_d \in A$, для которых факторкольцо $A /(a_1, \dots, a_d)$ артиново. Если эти элементы можно выбрать так, чтобы они порождали максимальный идеал $\mathfrak{m}$, то локальное кольцо $A$ называется регулярным локальным кольцом. Регулярность $A$ эквивалентна тому, что $\dim(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)=\dim A$. Для $d$-мерного регулярного кольца $A$$$H_A(n) = \left(\begin{array}{c} n+d-1 \\ d - 1 \end{array} \right),$$a $P_A(t) =(1-d)^{-d}$. Геометрически регулярность означает неособость соответствующей точки (аналитического или алгебраического) многообразия.

Помимо характеристической функции $H_A$ и связанных с ней размерности и кратности у локальных колец имеются различные инварианты гомологической природы. Главным из них является глубина $\operatorname{prof} A$ (см. в статье Глубина модуля); условие $\operatorname{prof} A = \dim A$ выделяет среди локальных колец т. н. кольца Коэна – Маколея. Неизвестно, для всякого ли полного локального кольца $A$ существует модуль $M$ с $\operatorname{prof} M = \dim A$. Другими гомологическими инвариантами являются т. н. числа Бетти $b_i(A)$ локального кольца $A$, т. е. размерности $k$-пространств $\mathrm{Tor}^A_i(k,k)$, где $k$ – поле вычетов $A$. Открыт вопрос о рациональности ряда Пуанкаре $\sum_{n\geqslant 0}b_n(A)t^n$, хотя для многих классов колец известен утвердительный ответ. Имеются также инварианты алгебро-геометрической природы; при их определении используется разрешение особенности, соответствующей локальному кольцу.

Аналогичная теория строится для полулокальных колец, т. е. колец, имеющих конечное число максимальных идеалов. Роль максимального идеала для них при этом играет радикал Джекобсона.