Ассоциати́вные ко́льца и а́лгебры, кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями – сложением $+$ и умножением $\cdot$ , являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причём умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно сложения. Ассоциативная алгебра, кроме того, должна быть векторным пространством над фиксированным полем $F$, и умножение в ней связано с умножением на элементы поля условиями $\alpha(a b)=(\alpha a) b=a(\alpha b)$ для всех $\alpha \in F, a, b$ из алгебры.

Первыми примерами ассоциативных колец и ассоциативных алгебр были числовые кольца и поля (поле комплексных чисел и его подкольца), алгебры многочленов, алгебры матриц над полями, кольца функций. Как самостоятельная область алгебры теория ассоциативных колец и ассоциативных алгебр оформилась к началу 20 в. Эта теория имеет много точек соприкосновения с многими областями математики, в особенности с алгебраической геометрией и алгебраической теорией чисел (коммутативные кольца), функциональным анализом (коммутативные нормированные кольца, кольца операторов и кольца функций), топологией (кольца непрерывных функций на топологических пространствах). Из теории ассоциативных колец и ассоциативных алгебр выделились в самостоятельные области алгебры теория полей и теория коммутативных колец (см. также в статье Коммутативная алгебра), теория представлений ассоциативных алгебр. Теория топологических колец и тел входит в качестве составной части в топологическую алгебру.

Классическая часть теории ассоциативных колец и ассоциативных алгебр – теория конечномерных ассоциативных алгебр (Аlbert. 1939). Центральные результаты этой теории: конечномерная простая (т. е. без собственных идеалов) ассоциативная алгебра над полем $F$ является полной матричной алгеброй над некоторым телом, конечномерным над $F$ (теорема Веддербёрна); конечномерная ассоциативная алгебра над полем характеристики нуль (и даже более общо – сепарабельная конечномерная ассоциативная алгебра) есть прямая сумма (как линейных пространств) своего радикала $\mathbf{I}$ (т. е. максимального нильпотентного идеала) и некоторой полупростой (т. е. с нулевым радикалом) подалгебры $S$, причём любые две дополнительные полупростые подалгебры $S$ и $S_{1}$ сопряжены (теорема Веддербёрна – Мальцева).

Одним из важнейших классов ассоциативных колец являются тела (т. е. ассоциативные кольца, в которых разрешимы уравнения $a x=b$ и $y a=b$ для всех $a, b$ из кольца, $a \neq 0$). Тела, являющиеся алгебрами над некоторым полем, называются алгебрами с делением. Теория конечномерных алгебр с делением – классическая часть теории тел. Описаны все конечномерные ассоциативные алгебры с делением над полем действительных чисел – это само поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов (теорема Фробениуса). Всякое конечное тело коммутативно (теорема Веддербёрна о телах). Построена теория тел Галуа (Джекобсон. 1961).

Центральными понятиями структурной теории ассоциативных колец являются понятия радикала Джекобсона, полупростоты и примитивности. Ассоциативное кольцо называется полупростым (в смысле Джекобсона), если его радикал Джекобсона равен нулю. Кольцо называется примитивным (справа), если оно обладает правым неприводимым точным модулем. Всякое полупростое ассоциативное кольцо является подпрямой суммой примитивных колец. Каждое примитивное ассоциативное кольцо $R$ есть плотное кольцо линейных преобразований некоторого векторного пространства $V$ над телом (теорема плотности Джекобсона); здесь плотность означает, что для любых линейно независимых элементов $v_{1}, \ldots, v_{k}$ из $V$ и любых элементов $u_{1}, \ldots, u_{k}$ из $V$ существует преобразование $r \in R$ такое, что $v_{i} r=u_{i}$ при $1 \leqslant i \leqslant k$. Важное место в структурной теории колец занимает общая теория радикалов.

Классической частью теории ассоциативных колец является теория артиновых колец (справа), т. е. колец с условием минимальности для правых идеалов. Центральный результат этой теории: ассоциативное кольцо будет полупростым артиновым кольцом тогда и только тогда, когда оно является прямой суммой конечного числа полных матричных колец над телами (теорема Веддербёрна – Артина).

Большое значение в структурной теории ассоциативных колец имеет понятие (классического) кольца частных. Кольцо $Q(R)$ называется (правым) кольцом частных своего подкольца $R$, если в $Q(R)$ все регулярные элементы (т. е. не делители нуля) кольца $R$ обратимы и любой элемент из $Q(R)$ имеет вид $a b^{-1}$, где $a, b \in R$. Ассоциативные кольца обладают кольцом частных тогда и только тогда, когда для любых элементов $a, b \in R$, где $b$ регулярен, существуют элементы $a_1, b_{1} \in R$ такие, что $a b_{1}=b a_{1}$ и $b_{1}$ регулярен (теорема Оре). Кольцо $R$ обладает полупростым артиновым кольцом частных тогда и только тогда, когда оно полупервично (т. е. $I^{2} \neq 0$ для всякого ненулевого идеала $I \subseteq R$), удовлетворяет условию минимальности для правых аннуляторных идеалов вида

$$r(S)=\{x \in R, \quad Sx=0\},$$где $S$ – подмножество $R$, и не содержит бесконечных прямых сумм правых идеалов (теорема Голди). Наряду с классическими кольцами частных изучаются и кольца частных в других смыслах, в первую очередь максимальные, или полные, кольца частных (Ламбек. 2005).

Значительное внимание уделяется изучению свободных ассоциативных алгебр. Пусть $F$ – поле, $X$ – множество. Свободная ассоциативная алгебра с единицей $F\langle X\rangle$ над $F$ с базой $X$ есть алгебра некоммутативных многочленов со свободными членами от множества переменных $X$ с коэффициентами из $F$. Алгебра $F\langle X\rangle$ характеризуется тем, что порождается как алгебра с единицей множеством $X$ и любое отображение $X$ в ассоциативной алгебре $R$ с единицей может быть, и притом единственным способом, продолжено до гомоморфизма $F\langle X\rangle$ в $R$. Свободная ассоциативная алгебра является кольцом со свободными идеалами, т. е. правые (левые) идеалы кольца $F\langle X\rangle$ суть свободные правые (левые) $F\langle X\rangle$-модули, при этом любые базисы свободного конечно порождённого $F\langle X\rangle$-модуля содержат одинаковое число элементов (теорема Кона). Другие примеры колец со свободными идеалами – групповые алгебры свободных групп и свободные произведения ассоциативных алгебр с делением. Свободная ассоциативная алгебра $F\langle X\rangle$ является также областью с однозначным разложением: любой необратимый элемент $a \in F\langle{X}\rangle$ обладает представлением $a=p_{1} \ldots p_{n}$, где $p_{i}$ – неприводимые элементы, и это представление единственно с точностью до порядка членов и подобия (2 элемента $a$ и $b$ кольца $R$ называются подобными, если $R / a R$ и $R / b R$ изоморфны как правые $R$-модули). Централизатор каждого нескалярного элемента алгебры $F\langle X\rangle$ изоморфен алгебре многочленов $F[t]$ от одного переменного $t$ (теорема Бергмана).

Важными классами ассоциативных алгебр являются групповые алгебры и PI-алгебры. Развивается теория многообразий колец.

Роль теории колец в математике возросла в связи с развитием гомологической алгебры. Многие известные классы колец можно охарактеризовать в терминах свойств категорий модулей над этими кольцами. Например, кольцо $R$ является полупростым артиновым тогда и только тогда, когда все правые (левые) модули над $R$ проективны (инъективны). Кольцо $R$ регулярно (в смысле фон Неймана) тогда и только тогда, когда все правые (левые) модули над $R$ являются плоскими; cм. также Регулярное кольцо, Гомологическая классификация колец, Квазифробениусово кольцо.