Отображе́ние в математике, закон, по которому каждому элементу $x$ некоторого заданного множества $X$ сопоставляется определённый элемент $y$ другого заданного множества $Y$ (при этом $X$ может совпадать с $Y$). Такое соотношение между элементами $x \in X$ и $y \in Y$ записывается в виде $y=f(x)$, $y=fx$, $y=xf$ или $f:x \mapsto y$. При этом часто говорят, что отображение $f$ действует из $X$ в $Y$ и пишут $f:X \to Y$ или $X \xrightarrow {f} Y$. Вместо термина «отображение» часто употребляют термин «оператор» (особенно в функциональном анализе и линейной алгебре), а также «функция» (особенно в случае, когда $Y$ – числовое множество). Отображение $f:X \to X$ называют также преобразованием множества $X$.

Иногда рассматривают отображения $f$, определённые не на всём множестве $X$, а на некотором его подмножестве $D_f\subset X$, называемом областью определения отображения $f$, в этом случае можно считать, что $f$ – всюду определённое отображение из $D_f$ в $Y$. Подмножество

$f(X)=\text{Im}f=\{f(x):x\in X\}$множества $Y$ называют образом $X$ или областью значений отображения $f$. Элемент $y=f(x)$ называют образом элемента $x$, а сам $x$ при этом – прообразом элемента $y$. Если $B \subset Y$, то множество всех таких $x \in X$, для которых $f(x) \in B$, называют полным прообразом множества $B$ в $X$. Множество всех отображений из $X$ в $Y$ часто обозначается $Y^X$. Сужением, или ограничением, отображения $f:X \to Y$ на подмножество $A \subset X$ называют отображение (обозначаемое $f_A$ или $f|A$), заданное для $x \in A$ равенством $f_A(x)=f(x)$. Продолжением, или расширением, или распространением, отображения $f$ на $B \supset X$ называют любое отображение $f_B:B \to Y$, совпадающее с $f$ на множестве $X$.

Если заданы три множества $X$, $Y$, $Z$ и два отображения $f:X \to Y$, $g:Y \to Z$, то существует отображение $h:X \to Z$, определяемое равенством $h(x)=g(f(x))$. Это отображение называют композицией или суперпозицией, или произведением отображений $f$ и $g$, и обозначают $g \circ f$ (иногда просто $gf$). Композиция $f\circ g$, даже если она определена, может не совпадать с $g \circ f$. Композиция отображений обладает свойством ассоциативности

$h \circ (g \circ f)=(h \circ g) \circ f;$здесь $f:X \to Y$, $g:Y \to Z$, $h:Z \to W$. Если знак отображения записывается справа, т. е. $f:x \to xf$, то композицию отображений $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ пишут в обратном порядке: $f \circ g$.

Отображение $f:X \to X$ называют тождественным (и обозначают $\text {id}_X$ или $\text{l}_X$), если $f(x)=x$ для всех $x \in X$. Для любого отображения $f:X \to Y$ справедливы равенства

$\text{id}_Y\circ f=f \circ \text{id}_X=f.$Отображение $f:X \to Y$ называют инъективным или взаимно однозначным отображением $X$ в $Y$, или просто инъекцией, если для любых $x_1,x_2 \in X$ из равенства $f(x_1)=f(x_2)$ следует $x_1=x_2$. Отображение $f:X \to Y$ называют сюръективным или отображением $X$ на $Y$, или просто сюръекцией, если для каждого $y \in Y$ существует такой $x \in X$, что $y=f(x)$ (т. е. $\text{Im}f$ совпадает с $Y$). Отображение, одновременно инъективное и сюръективное, называют биективным или взаимно однозначным отображением $X$ на $Y$, или просто биекцией.

Отображение $g:Y \to X$ называют правым (или левым) обратным к отображению $f:X \to Y$, если $g \circ f=\text{id}_X$ (или $f \circ g=\text{id}_Y$ соответственно). Отображение $g$, являющееся одновременно и левым и правым обратным к $f$, называют просто обратным, а само $f$ – обратимым отображением. Наличие правого (левого) обратного отображения даёт информацию о разрешимости уравнения $y=f(x)$, а именно: если существует только правое обратное, то решение этого уравнения существует, но вопрос о его единственности остаётся открытым; наличие же лишь левого обратного обеспечивает единственность решения в предположении, что оно существует.

Отображение $f:X \to Y$ порождает в прямом произведении множеств $X \times Y$ множество $Γ_f=\{x,f(x)\}$, которое называют графиком отображения $f$, оно полностью определяет это отображение. Обратно, множество $M \subset X \times Y$ является графиком некоторого отображения тогда и только тогда, когда для любого $u \in X$ существует единственное $v \in Y$ такое, что $(u,v) \in M$. Иначе говоря, отображение можно рассматривать как частный случай соответствия (т. н. функциональное соответствие). Произвольные соответствия называют иногда многозначными функциями.

В топологических пространствах часто рассматривают отображения, которые являются гомеоморфизмами или диффеоморфизмами (гладкими гомеоморфизмами), т. е. взаимно однозначными и непрерывно дифференцируемыми отображениями $f:X \to Y$ дифференцируемых многообразий $X$ (например, областей в евклидовом пространстве) в дифференцируемые многообразия $Y$, обратные к которым также непрерывно дифференцируемы.