Барицентри́ческие координа́ты, координаты точки $n$-мерного векторного пространства $E^n$, отнесённые к некоторой фиксированной системе $p_0, p_1, \ldots,p_n$ точек, не лежащих в $(n-1)$-мерном подпространстве. Каждая точка $x \in E^n$ может быть единственным образом представлена в виде

$$x=\lambda_0 p_0+\lambda_1 p_1+\ldots+\lambda_n p_n,$$где $\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n$ – действительные числа, удовлетворяющие условию $\lambda_0+\lambda_1+\ldots+\lambda_n=1$. Точка $x$, по определению, есть центр тяжести масс $\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n$, помещённых в точках $p_0, p_1, \ldots, p_n$. Числа $\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n$ называются барицентрическими координатами точки $x$; точка с барицентрическими координатами $1 /(n+1)$ называется барицентром.

Барицентрические координаты введены А. Мёбиусом в 1827 г. (см. Möbius. 1885) как ответ на вопрос о том, какие массы следует поместить в вершинах заданного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Барицентрические координаты являются частным случаем общих однородных координат; они аффинно инвариантны.

Барицентрические координаты точек симплекса используются в алгебраической топологии (Понтрягин. 2004). Барицентрическими координатами точек $n$-мерного симплекса $\sigma$ относительно его вершин $A_0, A_1, \ldots, A_n$ называются их (общие) декартовы координаты в базисе векторов $\overline{O A}_0, \overline{O A}_1, \ldots, \overrightarrow{O A}_n$, где $O$ – любая точка, не лежащая в n-мерном подпространстве, несущем $\sigma$ (считается, что $\sigma$ лежит в некотором евклидовом пространстве; при этом определение не зависит от точки $O$), или проективные координаты относительно $A_0, A_1, \ldots, A_n$ в проективном пополнении содержащего $\sigma$ подпространства. Барицентрические координаты точек симплекса неотрицательны и их сумма равна единице. Обращение в нуль $i$-й барицентрической координаты равносильно тому, что точка лежит на противоположной вершине $A_i$ грани симплекса $\sigma$. Это позволяет рассматривать барицентрические координаты точек геометрического комплекса относительно всех его вершин. При помощи барицентрических координат производится барицентрическое подразделение комплекса.

По аналогии с этим вводится формальное определение барицентрических координат для абстрактных симплексов (Спеньер. 1971).