Мо́дуль над кольцо́м, абелева группа с кольцом операторов. Модуль является обобщением (линейного) векторного пространства над полем $K$ для случая, когда $K$ заменяется некоторым кольцом.

Пусть задано кольцо $A$. Аддитивная абелева группа $M$ называется левым $A$-модулем, если определено отображение $A \times M \rightarrow M$, значение которого на паре $(a, m)$ для $a \in A$, $m \in M$ записывается как $am$, причём выполняются аксиомы:

1) $a\left(m_1+m_2\right)=a m_1+a m_2$;

2) $\left(a_1+a_2\right) m=a_1 m+a_2 m$;

3) $a_1\left(a_2 m\right)=\left(a_1 a_2\right) m$.

Если кольцо $A$ обладает единицей, то обычно требуют дополнительно, чтобы для любого $m \in M$ выполнялось равенство ${\bf 1} m=m$. Модуль с этим свойством называется унитарным, или унитальным.

Аналогично определяются правые $A$-модули; при этом аксиома 3) заменяется условием $\left(m a_1\right) a_2= m\left(a_1 a_2\right)$. Любой правый $A$-модуль можно рассматривать как левый $A^0$-модуль над кольцом $A^0$, антиизоморфным кольцу $A$, поэтому любому утверждению о правых $A$-модулях соответствует некоторое утверждение о левых $A^0$-модулях, и наоборот. В случае когда кольцо $A$ коммутативно, любой левый $A$-модуль можно рассматривать как правый $A$-модуль и различие между левыми и правыми модулями исчезает. Ниже будут рассматриваться только левые $A$-модули.

Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, т. е. $\mathbb{Z}$-модули) появляются уже у К. Ф. Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие модуля встречается впервые в 1860–1880-х гг. в работах Р. Дедекинда и Л. Кронекера, посвящённых арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр и, в частности, групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, Ф. Г. Фробениус), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец. Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца. Лишь позднее в работах Э. Нётер и В. Крулля было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов. Последующее развитие теории модулей связано с применением методов и идей теории категорий, в частности методов гомологической алгебры.

Примеры модулей

1. Любая абелева группа $M$ является модулем над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$. Для $a \in \mathbb{Z}$ и $m \in M$ произведение $a m$ определяется как результат сложения $m$ $a$ раз.

2. В случае когда $A$ – поле, понятие унитарного $A$-модуля в точности эквивалентно понятию линейного векторного пространства над $A$.

3. Координатное $n$-мерное векторное пространство $V$ над полем $K$ можно рассматривать как модуль над кольцом $M_n(K)$ всех $(n \times n)$-матриц с коэффициентами из $K$. Для $v \in V$ и $X \in M_n(K)$ произведение $X v$ определяется как умножение матрицы ${X}$ на столбец координат вектора $v$.

4. Ассоциативное кольцо $A$ является левым $A$-модулем. Умножение элементов кольца на элементы модуля совпадает с обычным умножением в $A$.

5. Дифференциальные формы на гладком многообразии $X$ снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на ${X}$.

6. С любой абелевой группой $M$ связано ассоциативное кольцо с единицей $\operatorname{End}(M)$ всех эндоморфизмов группы $M$. Группа $M$ снабжена естественной структурой $\operatorname{End}(M)$-модуля.

Если на $M$ задана структура $A$-модуля для некоторого кольца $A$, то отображение $m \rightarrow a m$ является эндоморфизмом $M$ для любого $a \in M$. Сопоставляя элементу $a \in A$ порождаемый им эндоморфизм $M$, получают гомоморфизм $\varphi$ кольца $A$ в $\operatorname{End}(M)$. Наоборот, любой гомоморфизм $\varphi: A \rightarrow \operatorname{End}(M)$ определяет на $M$ структуру $A$-модуля. Таким образом, задание структуры $A$-модуля на абелевой группе $M$ равносильно заданию гомоморфизма $\varphi: A \rightarrow \operatorname{End}(M)$. Такой гомоморфизм называется также представлением кольца $A$, а $M$ называется модулем представления. С любым представлением $\varphi$ связан двусторонний идеал $\operatorname{Ann}(M)=\operatorname{Ker} \varphi$, состоящий из элементов $a \in A$ таких, что $a m=0$ для всех $m \in M$. Этот идеал называется аннулятором модуля $M$. В случае когда $\operatorname{Ann}(M)=0$, представление называется точным, $M$ – точным модулем.

Очевидно, что модуль $M$ можно рассматривать также как модуль над факторкольцом $A / \operatorname{Ann}(M)$. В частности, хотя определение модуля и не предполагает ассоциативности кольца $A$, кольцо $A / \operatorname{Ann}(M)$ всегда ассоциативно. Поэтому в большинстве случаев достаточно ограничиться рассмотрением модуля над ассоциативными кольцами. Ниже, везде, где не оговорено противное, кольцо $A$ будет предполагаться ассоциативным.

G-модули

Пусть $G$ – некоторая группа. Аддитивная абелева группа $M$ называется левым $G$-модулем, если задано отображение $G \times M \rightarrow M$, значение которого на паре $(g, m)$, где $g \in G$, $m \in M$, записывается как $g m$, причём для любого $g \in G$ отображение $m \rightarrow g m$ является эндоморфизмом группы $M$, для любых $g_1, g_2 \in G$, $m \in M$, $\left(g_1 g_2\right) m=g_1\left(g_2 m\right)$ и для всех $m \in M$, $\mathbf{1} m=m$, где $\mathbf{1}$ – единица группы $G$. Для любого $g \in G$ отображение $m \longmapsto g m$ является автоморфизмом группы $M$.

Аналогично можно определить правые ${G}$-модули. При $g m=m g^{-1}$ любой правый $G$-модуль будет левым $G$-модулем.

Примеры $G$-модулей:

1. Пусть $K$ – расширение Галуа некоторого поля $k$ с группой Галуа $G$. Тогда аддитивная и мультипликативная группы поля $K$ снабжены естественной структурой $G$-модуля. Если $k$ – поле алгебраических чисел, то $G$-модулями также являются аддитивная группа кольца целых чисел поля $K$, группа единиц поля $K$, группа дивизоров и группа классов дивизоров поля $K$ и т. д. Модули над группой Галуа называются также модулями Галуа.

2. Пусть задано некоторое расширение абелевой группы $M$, т. е. точная последовательность групп

$$1 \rightarrow M \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow 1,$$где $M$ – абелев нормальный делитель группы $F$ и $G$ – произвольная группа. Тогда группу $M$ можно снабдить естественной структурой $G$-модуля, положив для $g \in M$, $m \in M$, $g m=\bar{g} m \bar{g}^{-1}$, где $\bar{g}$ – некоторый прообраз элемента $g$ в группе $F$.

В тех случаях, когда групповая операция в абелевой группе $M$ записывается мультипликативно (например, $M$ – мультипликативная группа некоторого поля), вместо записи $g m$ используют также запись $m^g$, т. е. операторы из группы $G$ записывают как показатели.

Пусть задан $G$-модуль $M$. Сопоставляя элементу $g \in G$ автоморфизм $m \mapsto g m$ группы $M$, получают гомоморфизм группы $G$ в группу обратимых элементов кольца $\operatorname{End}(M)$. Наоборот, любой гомоморфизм группы $G$ в группу обратимых элементов кольца $\operatorname{End}(M)$ задаёт на $M$ структуру $G$-модуля.

Понятия модуля над кольцом и $G$-модуля тесно связаны. Именно, любой $G$-модуль $M$ можно рассматривать как модуль над групповым кольцом $\mathbb{Z} G$, если распространить действие группы $G$ на $M$ по линейности, т. е. положить

$$\left(\sum a_i g_i\right) m=\sum a_i\left(g_i m\right),$$где $a_i \in \mathbb{Z}$, $g_i \in G$, $m \in M$. Наоборот, если на $M$ задана структура унитарного $\mathbb{Z} G$-модуля, то $M$ можно рассматривать как $G$-модуль.

В случае когда $M$ является $K$-модулем над некоторым коммутативным кольцом $K$ и одновременно $G$-модулем, причём действие элементов группы $G$ на $M$ перестановочно с действием элементов $K$, $M$ можно снабдить структурой $K G$-модуля, распространяя действие с $G$ на $K G$ по линейности. Например, если $V$ – линейное векторное пространство над полем $K$, то задание структуры $K G$-модуля на $V$ эквивалентно заданию представления $G$ в пространстве $V$.

Используя стандартную инволюцию $g \rightarrow g^{-1}$ в группе $G$, любой левый $G$-модуль $M$ можно превратить в правый $G$-модуль, положив $m g=g^{-1} m$ для $m \in M$, $g \in G$. Аналогично, любой правый $G$-модуль можно превратить в левый $G$-модуль.

Модуль над алгеброй Ли

Пусть $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли над коммутативным кольцом $K$ и $M$ – некоторый $K$-модуль. Задание структуры $\mathfrak{g}$-модуля на $M$ состоит в задании $K$-эндоморфизма $m \mapsto g m$ группы $M$ для каждого $g \in \mathfrak{g}$, причём требуется выполнение аксиомы

$$\left[g_1, g_2\right] m=g_1\left(g_2 m\right)-g_2\left(g_1 m\right)$$для любых $g_1, g_2 \in \mathfrak{g}$, $m \in M$. Это определение отличается от данного ранее определения $A$-модуля. Задание на $M$ структуры $\mathfrak{g}$-модуля равносильно заданию $K$-гомоморфизма $\mathfrak{g}$ в алгебру Ли кольца $\operatorname{End}(M)$. Модуль $M$ над алгеброй Ли $\mathfrak{g}$ можно рассматривать так же, как модуль в обычном смысле над универсальной обёртывающей алгеброй алгебры $\mathfrak{g}$.

Конструкции в теории модулей

Исходя из заданных $A$-модулей, можно получать новые $A$-модули при помощи ряда стандартных построений. Так, с любым модулем $M$ связана решётка всех его подмодулей. Например, если кольцо $A$ рассматривать как левый модуль над собой, то его левые подмодули – это в точности левые идеалы кольца $A$. Ряд важных типов модулей определяется в терминах решётки подмодулей. Например, условие обрыва убывающих (возрастающих) цепей подмодулей определяет артиновы модули (нётеровы модули). Условие отсутствия нетривиальных подмодулей, т. е. подмодулей, отличных от 0 и всего модуля, выделяет неприводимые модули.

Для модуля $M$ и любого его подмодуля $N$ факторгруппу $M / N$ можно снабдить структурой $A$-модуля. Этот модуль называется фактормодулем $M$ по $N$.

Гомоморфизм $A$-модулей определяется как гомоморфизм абелевых групп $f: M \rightarrow N$, перестановочный с умножением на элементы кольца $A$, т. е. удовлетворяющий условию $f(a m)=a f(m)$ для всех $m \in M$, $a \in A$. Если заданы два гомоморфизма $f_1, f_2: M \rightarrow N$, то их сумма, определяемая формулой $\left(f_1+f_2\right)(m)=f_1(m)+f_2(m)$, снова будет гомоморфизмом $A$-модулей. Это сложение задаёт на множестве $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ всех гомоморфизмов модуля $M$ в $N$ строение абелевой группы. Для любого гомоморфизма $f: M \rightarrow N$ определены подмодули $\operatorname{Ker} f$ (ядро $f$) и $\operatorname{Im} f$ (образ $f$), а также фактормодули $\operatorname{Coker} f=N / \operatorname{Im} f$ (коядро $f$) и $\operatorname{Coim} f=M / \operatorname{Ker} f$ (кообраз $f$). Mодули $\operatorname{Im} f$ и $\operatorname{Coim} f$ канонически изоморфны, поэтому их обычно отождествляют. Например, для любого левого идеала $J$ кольца $A$ определён фактормодуль $A / J$. Модуль $A / J$ неприводим тогда и только тогда, когда $J$ – максимальный левый идеал. Если $M$ – некоторый неприводимый $A$-модуль, не аннулируемый кольцом $A$, то $M$ изоморфен модулю $A/J$ для некоторого максимального левого идеала $J$.

Для любого семейства $A$-модулей $\left\{M_i\right\}$, где $i$ пробегает некоторое множество индексов $J$, в категории $A$-модулей существуют прямая сумма и прямое произведение семейства $\left\{M_i\right\}$. При этом элементы прямого произведения $\prod_{i \in J} M_i$ можно интерпретировать как векторы $(\ldots, m_i, \ldots)$, компоненты которых заиндексированы множеством $J$, причём для каждого индекса $i$, $m_i \in M_i$. Сложение таких векторов и умножения их на элементы кольца определяются покомпонентно. Прямую сумму $\prod_{i \in J} M_i$ семейства $\left\{M_i\right\}$ можно интерпретировать как подмодуль прямого произведения, состоящий из векторов, у которых все компоненты, кроме конечного числа, равны нулю.

Для проективной (индуктивной) системы $A$-модулей проективный (индуктивный) предел этой системы можно естественным образом снабдить структурой $A$-модуля. Прямое произведение и прямая сумма модулей могут рассматриваться как частные случаи понятий проективного и индуктивного пределов.

Образующие и соотношения

Пусть $X$ – некоторое подмножество $A$-модуля $M$. Подмодулем, порождённым множеством $X$, называется пересечение всех подмодулей модуля $M$, содержащих $X$. Если этот подмодуль совпадает с $M$, то ${X}$ называется семейством (или системой) образующих модуля $M$. Модуль, допускающий конечное семейство образующих, называется конечно порождённым модулем. Например, в нётеровом кольце любой идеал является конечно порождённым модулем, прямая сумма конечного числа конечно порождённых модулей снова конечно порождена. Любой фактормодуль конечно порождённого модуля также конечно порождён. Для построения системы образующих модуля $M$ часто оказывается полезной лемма Накаямы: для любого идеала $\mathfrak{A}$, содержащегося в радикале кольца $A$, из условия $\mathfrak{A} M=M$ следует $M=0$. В частности, в условиях леммы Накаямы элементы $m_1, \ldots, m_r$ являются системой образующих для $M$, если их образы порождают модуль $M / \mathfrak{A} M$. Это соображение особенно часто используется в случае, когда $A$ – локальное кольцо и $\mathfrak{A}$ – максимальный идеал в $A$.

Пусть $M$ – модуль с системой образующих $\left\{x_i\right\}_{i \in J}$. Тогда отображение $\varphi: y_i \rightarrow x_i$ определяет эпиморфизм $\varphi$ свободного $A$-модуля $F$ с образующими $\left\{y_i\right\}_{i \in J}$ на $M$ (модуль $F$ можно определить как множество формальных конечных сумм $\sum a_i y_i$, $a_i \in A$, отображение $\varphi$ распространяется с образующих на элементы модуля $F$ по линейности). Элементы модуля $R=\operatorname{Ker} \varphi$ называются соотношениями между образующими $\left\{x_i\right\}$ модуля $M$. Если модуль $M$ можно представить как фактормодуль конечно порождённого свободного модуля $F$ так, чтобы модуль соотношений $R$ также был конечно порождён, то $M$ называется конечно представимым модулем. Например, над нётеровым кольцом $A$ любой конечно порождённый модуль конечно представим. В общем случае конечная представимость не следует из конечной порождённости.

Замена кольца

Существуют стандартные конструкции, позволяющие рассматривать $A$-модуль $M$ как модуль над некоторым другим кольцом. Например, пусть задан гомоморфизм колец $\varphi: B \rightarrow A$. Тогда, полагая $b m =\varphi(b) m$, можно рассматривать $M$ как $B$-модуль. Если модуль $M$ – унитарный $A$-модуль и гомоморфизм $\varphi$ переводит единицу в единицу, то $M$ станет унитарным $B$-модулем.

Пусть задан некоторый гомоморфизм колец $\varphi: A \rightarrow B$ и $A$-модуль $M$. Тогда $B$ можно снабдить структурой $(B, A)$-модуля, полагая $b a=b \varphi(a)$ для $b \in B$, $a \in A$, и можно рассмотреть левый $B$-модуль $B \otimes_A M$. Говорят, что этот модуль получен из $M$ расширением скаляров.

Категория модулей

Класс всех модулей над заданным кольцом $A$ с гомоморфизмами модулей в качестве морфизмов образует абелеву категорию, обозначаемую $A=\bmod$. Из функторов, определённых на этой категории, наиболее важны функторы $\operatorname{Hom}$ (гомоморфизмы) и $\otimes$ (тензорное произведение). Функтор $\operatorname{Hom}$ принимает значения в категории абелевых групп и сопоставляет паре $A$-модулей $M, N$, группу $\operatorname{Hom}_A(M, N)$. Для $f: M_1 \rightarrow M$ и $\varphi: N \rightarrow N_1$ очевидным образом определяются отображения

$$f^{\prime}: \operatorname{Hom}_A(M, N) \longrightarrow \operatorname{Hom}_A\left(M_1, N\right)$$и

$$\varphi^{\prime}: \operatorname{Hom}_A(M, N) \longrightarrow \operatorname{Hom}_A\left(M, N_1\right),$$т. е. функтор $\operatorname{Hom}$ контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. В случае когда $M$ или $N$ несёт структуру бимодуля, группа $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ обладает дополнительной модульной структурой. Если $N$ есть $(A, B)$-модуль, то $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ – правый B-модуль, а если $M$ есть $(A, B)$-бимодуль, то $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ – левый $B$-модуль.

Функтор $\otimes_A$ ставит в соответствие паре $M, N$, где $M$ – правый $A$-модуль, а $N$ – левый $A$-модуль, тензорное произведение $M \otimes_A N$ модулей $M$ и $N$ над кольцом $A$. Этот функтор принимает значения в категории абелевых групп и ковариантен как по $M$, так и по $N$. В случае когда $M$ или $N$ – бимодули, группу $M \otimes_A N$ можно снабдить дополнительной структурой. Именно, если $M$ есть $(B, A)$-модуль, то $M \otimes_A N$ есть $B$-модуль, а если $N$ есть $(A, B)$-бимодуль, то $M \otimes_A N$ – правый $B$-модуль. Изучение функторов $\operatorname{Hom}$ и $\otimes$, а также их производных функторов является одной из основных задач гомологической алгебры.

Многие важные типы модулей характеризуются в терминах функторов $\operatorname{Hom}$ и $\otimes$. Так, проективный модуль $M$ определяется требованием, чтобы функтор $\operatorname{Hom}_A(M, X)$ (от $X$) был точным. Аналогично, инъективный модуль $N$ определяется требованием точности $\operatorname{Hom}_A(X, N)$ (от $X$). Плоский модуль $M$ определяется требованием точности функтора $M \otimes_A X$.

Модули над данным кольцом $A$ можно рассматривать с двух точек зрения:

1. Можно изучать модули с точки зрения их внутренней структуры. Основной задачей здесь является полная классификация модулей, т. е. построение для каждого модуля системы инвариантов, характеризующей этот модуль с точностью до изоморфизма, и умение по заданному набору инвариантов строить модуль с этими инвариантами. Для некоторых типов колец такое описание возможно. Например, если $M$ – конечно порождённый модуль над групповым кольцом $K G$ конечной группы $G$, где $K$ – некоторое поле, характеристика которого взаимно проста с порядком $G$, то $M$ представим в виде конечной прямой суммы неприводимых подмодулей (модуль $M$ вполне приводим). Это представление определено однозначно с точностью до изоморфизма (сами неприводимые подмодули в общем случае не определяются однозначно). Bсе неприводимые подмодули также допускают простое описание: все они содержатся в регулярном представлении группы $G$ и находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми характерами этой группы. Также простое описание допускают модули над кольцом главных идеалов и над дедекиндовым кольцом. Именно, любой конечно порождённый модуль $M$ над кольцом главных идеалов $A$ изоморфен конечной прямой сумме модулей вида $A / \mathfrak{A}_i$, где $\mathfrak{A}_i$ – некоторые идеалы кольца $A$ (возможно, нулевые), причём $\mathfrak{A}_1 \subseteq \mathfrak{A}_2 \subseteq \ldots \subseteq \mathfrak{A}_m \neq A$ и идеалы $\mathfrak{A}_i$ однозначно определяются последним условием. Таким образом, набор инвариантов $\left\{\mathfrak{A}_i\right\}$ полностью определяет модуль $M$. Если $M$ – конечно порождённый модуль над дедекиндовым кольцом $A$, то $M=M_1 \oplus M_2$, где $M_2$ – периодический модуль, а $M_1$ – модуль без кручения (выбор модуля $M_1$ не однозначен). Модуль $M_2$ аннулируется некоторым идеалом $\mathfrak{A}$ кольца $A$ и, следовательно, является модулем над кольцом главных идеалов ${A} / \mathfrak{A}$ и допускает описание, указанное выше, а модуль $M_1$ представим в виде $\oplus^n A \oplus \mathfrak{B}$, где $\mathfrak{B}$ – некоторый идеал $A$, а $\oplus^n$ – прямая сумма $n$ раз. Модуль $M_1$ с точностью до изоморфизма однозначно определяется двумя инвариантами: числом $n$ и классом идеала $\mathfrak{B}$ в группе классов идеалов.

2. Другой подход к изучению модулей состоит в изучении категории $A=\bmod$ и данного модуля $M$ как объекта этой категории. Такое изучение является предметом гомологической алгебры и алгебраической $K$-теории. На этом пути было получено много важных и глубоких результатов.

Часто рассматривают модули, несущие некоторую дополнительную структуру. Так рассматриваются градуированные модули, фильтрованные модули, топологические модули, модули с полуторалинейной формой и т. д.