Гармони́ческая фо́рма, внешняя дифференциальная форма $\alpha$ на римановом многообразии $M$, удовлетворяющая уравнению $\Delta \alpha=0$, где $\Delta=d \delta+\delta d$ – оператор Лапласа, соответствующий римановой метрике на $M$, а $\delta$ – оператор, сопряжённый к внешнему дифференциалу $d$. Если $\alpha$ имеет компактный носитель, то гармоничность формы $\alpha$ равносильна равенствам $d\alpha=\delta \alpha=0$. Гармонические формы степени $p$ на $M$ образуют векторное пространство $H^{p}(M)$ над полем $\mathbb{R}$. Если риманово многообразие $M$ компактно, то $H^{p}(M)$ конечномерно, как ядро эллиптического оператора $\Delta$. Поскольку гармоническая форма замкнута, в силу теоремы де Рама возникает естественное отображение пространства $H^{p}(M)$ в пространство $H^{p}(M, \mathbb{R})$ вещественных когомологий степени $p$ многообразия $M$. Из теоремы Ходжа следует, что это отображение является изоморфизмом. В частности, гармонические функции, т. е. гармонические формы степени $0$, на связном компактном многообразии постоянны.

Гармонические формы на компактном римановом многообразии инвариантны относительно любой связной группы изометрий этого многообразия, а для симметрического пространства $M$ пространство $H^{p}(M)$ совпадает с пространством $p$-форм, инвариантных относительно наибольшей связной группы изометрий.

Параллельная теория гармонических форм существует для эрмитовых многообразий $M$. Гармоническая форма на эрмитовом многообразии $M$ – это комплексная форма, лежащая в ядре оператора Бельтрами – Лапласа $\square$. Гармонические формы типа $(p, q)$ составляют пространство $H^{p, q}(M)$ над $\mathbb{C}$. Если $M$ компактно, то $H^{p, q}(M)$ конечномерно и естественно изоморфно пространству когомологий Дольбо. В случае, когда $M$ – кэлерово многообразие, эти 2 понятия гармонической формы фактически совпадают, поскольку $\square=\bar{\square} =1 / 2 \Delta$. В этом случае$$H^{p, q}(M)=\bar{H}^{q, p}(M)$$и$$H^{k}(M) \otimes \mathbb{C}=\sum_{p+q=k} H^{p, q}(M).$$Пусть $\omega$ – кэлерова форма на $M$, $L$ – оператор внешнего умножения на $\omega$, $\Lambda$ – сопряжённый к $L$ оператор, $H_{0}^{p, q}(M)$ – пространство примитивных гармонических форм типа $(p, q)$, т. е. форм $\alpha \in H^{p, q}(M)$, для которых $\Lambda \alpha=0$. Для $p \geqslant q$ и $p+q \leqslant \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} M$ справедливо равенство$$\begin{gathered} H^{p, q}(M)=\sum_{s=0}^{q} L^{s} H_{0}^{p-s, q-s}(M) \cong \\ \cong \sum_{s=0}^{q} H_{0}^{p-s, q-s}(M). \end{gathered}$$Для компактного кэлерова многообразия $M$ пространство $H^{p, 0}(M)$ совпадает с пространством $\Omega^{p}(M)$ голоморфных форм степени $p$. В частности,$$H^{1}(M) \otimes C=\Omega^{1}(M)+ \overline{\Omega^{1}(M)}.$$Изучение гармонических функций и форм на римановых поверхностях восходит к Б. Риману, сформулированные которым теоремы существования были полностью обоснованы к началу 20 в. Теория гармонических форм на компактных римановых многообразиях была впервые изложена У. Ходжем (Hodge. 1952).

В дальнейшем были даны различные обобщения теории гармонических форм. Пусть на римановом (соответственно, эрмитовом) многообразии $M$ задано локально плоское (соответственно, аналитическое) векторное расслоение $E$ и пусть на слоях расслоения $E$ задана евклидова (соответственно, эрмитова) метрика. При помощи надлежащего обобщения оператора Лапласа (соответственно, Бельтрами – Лапласа) (см. Уэллс. 1976; Мацусима. 1965) определяются пространства $H^{p}(E)$ [соответственно, $H^{p, q}(E)$] гармонических форм со значениями в $E$. Если $M$ компактно, то эти пространства конечномерны и изоморфны соответствующим пространствам когомологий де Рама и Дольбо, допускающим, в свою очередь, интерпретацию в терминах когомологий пучков. В случае локально плоского расслоения эти когомологии тесно связаны также с когомологиями группы $\pi_{1}(M)$. Если $M$ не компактно, то пространство гармонических форм с интегрируемым квадратом изоморфно пространству когомологий комплекса форм с интегрируемым квадратом (Рам Ж. де. 1956). В случае, когда $M$ – область с гладкой границей и компактным замыканием $\bar{M}$ в кэлеровом многообразии $\tilde{M}$, можно рассматривать также пространство гармонических форм типа $(p, q)$ со значениями в векторном аналитическом расслоении $E$ над $\tilde{M}$, гладких в $M$ и непрерывных в $\bar{M}$. Если $M$ строго псевдовыпукла, то это пространство конечномерно и изоморфно пространству когомологий Дольбо, соответствующему $E$ над $M$ (Кон. 1964, Кон. 1964).

Гармонические формы являются мощным средством изучения когомологий вещественных и комплексных многообразий, а также когомологий дискретных групп. Из теории гармонических форм выводятся основные когомологические свойства компактных кэлеровых многообразий и, в частности, проективных алгебраических многообразий (Hodge. 1952; Уэллс. 1976; Чжэнь Шэн-шэнь. 1961). С помощью гармонических форм удаётся установить связь между кривизной компактного риманова многообразия и тривиальностью некоторых его групп когомологий (Goldberg. 1962; Яно. 1957). Аналогичные связи имеют место в комплексной аналитической геометрии (см. Уэллс. 1976, Чжэнь Шэн-шэнь. 1961) и в теории дискретных групп преобразований (см. Мацусима. 1965).