Максима́льный идеа́л, максимальный элемент в частично упорядоченном множестве тех или иных собственных идеалов соответствующей алгебраической системы. Максимальные идеалы играют существенную роль в теории колец. Всякое кольцо с единицей обладает левыми (а также правыми и двусторонними) максимальными идеалами. Фактормодуль $M=R / I$ левого (соответственно правого) $R$-модуля $R$ по левому (соответственно правому) максимальному идеалу $I$ является неприводимым; гомоморфизм $\varphi$ кольца $R$ в тело эндоморфизмов модуля $M$ – представление кольца $R$. Ядро всех таких представлений, т. е. множество элементов кольца, переходящих в нуль при всех его представлениях, называется радикалом Джекобсона кольца $R$, оно совпадает с пересечением всех левых (а также всех правых) максимальных идеалов.

В кольце $R=C[a, b]$ непрерывных действительных функций на отрезке $[a, b]$ множество всех функций, обращающихся в нуль в фиксированной точке $x_0$, является максимальным идеалом. Такими идеалами исчерпываются все максимальные идеалы кольца $R$. Это соответствие между точками отрезка и максимальными идеалами кольца $R$ привело к построению различных теорий, представляющих кольца, как кольца непрерывных функций на некотором топологическом пространстве.

Топология Зариского, вводимая на множестве простых идеалов $\operatorname{Spec} R$ кольца $R$, обладает слабыми свойствами отделимости (т. е. существуют незамкнутые точки). Аналогичная топология в некоммутативном случае вводится на множестве $\mathrm{Spec} R$ примитивных идеалов, являющихся аннуляторами неприводимых $R$-модулей. Множество максимальных идеалов, а в некоммутативном случае – примитивных максимальных идеалов, образует подпространство $\mathrm{Spec} mR \subset \operatorname{Spec} R$, которое удовлетворяет аксиоме отделимости $T_1$.

В теории полугрупп максимальные идеалы играют ме́ньшую роль, нежели минимальные идеалы. Если $M$ – максимальный двусторонний идеал полугруппы $S$, то либо $M=S \backslash\{a\}$, где $a$ – некоторый неразложимый элемент из $S$ (то есть $a \in S^2 \backslash S$ ), либо $M$ есть простой идеал (т. е. для любых идеалов $A$, $B$ из $A B \subseteq M$ следует $A \subseteq M$ или $B \subseteq M$); отсюда следует, что в $S$ всякий максимальный двусторонний идеал будет простым тогда и только тогда, когда $S^2=S$. В полугруппе $S$ с максимальным двусторонним идеалом простой идеал $P \neq S$ будет максимальным тогда (и, очевидно, только тогда), когда $P$ содержит пересечение $I$ всех максимальных двусторонних идеалов из $S$. Факторполугруппа Риса $S / I$ есть $0$-прямое объединение полугрупп, каждая из которых либо $0$-простая, либо двухэлементная нильпотентная.

Иногда полугруппа $S$ с собственными левыми идеалами может иметь среди таких идеалов наибольший $L^*$ (т. е. содержащий все другие собственные левые идеалы); это, например, выполняется, если $S$ обладает правой единицей. Если в этом случае множество $S \backslash L ^*$ неодноэлементно, то оно является подполугруппой. В периодической полугруппе $S$ из существования $L^*$ вытекает, что $L^*$ будет (наибольшим собственным) двусторонним идеалом. Другой пример такой же ситуации доставляют подгруппы с отделяющейся групповой частью (см. в статье Обратимый элемент), не являющиеся группами.