Аналити́ческое простра́нство, обобщение понятия аналитического многообразия. Локальной моделью (и одновременно важнейшим примером) аналитического пространства над полным недискретно нормированным полем $k$ является аналитическое множество ${X}$ в области $U$ $n$-мерного пространства $k^n$ над полем $k$, заданное уравнениями $f_1=\ldots=f_p=0$ (где $f_i$ – аналитические функции в $U$), которое снабжено пучком $\mathcal{O}$, получающимся при ограничении на $X$ пучка $\mathcal{O}_U/ I$, где $\mathcal{O}_U$ – пучок ростков аналитических функций в $U$, а $I$ – подпучок идеалов, порождённый $f_1, \ldots, f_p$. Аналитическим пространством над $k$ называется окольцованное пространство, локально изоморфное окольцованному пространству $(X, \mathcal{O})$ указанного выше вида. Если $k$ – поле действительных чисел $\mathbb{R}$, говорят о вещественных аналитических пространствах; если $k$ – поле комплексных чисел $\mathbb{C}$, – о комплексных аналитических (просто комплексных) пространствах; если $k$ – поле $p$-адических чисел $\mathbb{Q}_p$, – о $p$-адических аналитических пространствах.

Аналитическим (голоморфным) отображением одного аналитического пространства $\left(X, \mathcal{O}_X\right)$ в другое $\left(Y, \mathcal{O}_Y\right)$ называется морфизм $(X, \mathcal{O}_X) \rightarrow(Y, \mathcal{O}_Y)$ в смысле теории окольцованных пространств, т. е. пара $\left(\varphi_0,\varphi_1\right)$, где $\varphi_0: X \rightarrow Y$ – непрерывное отображение, а $\varphi_1: \varphi_0^{-1} \mathcal{O}_Y \rightarrow \mathcal{O}_X$ – гомоморфизм пучков. Точка $x$ аналитического пространства $(X, \mathcal{O})$ называется простой (или неособой), если $x$ обладает окрестностью, над которой $(X, \mathcal{O})$ изоморфно пространству вида $(U, \mathcal{O}_U)$, где $U$ – область в $k^n$. B противном случае $x$ называется особой точкой. Пространство называется гладким, если все его точки просты. Гладкое аналитическое пространство – это не что иное, как аналитическое многообразие.

Размерность $\operatorname{dim}_x X$ аналитического пространства $X$ в точке $x \in X$ определяется как размерность соответствующего аналитического множества в локальной модели. Глобальная размерность определяется формулой

$$\operatorname{dim} X=\sup _{x \in X} \operatorname{dim}_x X.$$Пусть $m_x$ – максимальный идеал в локальном кольце $\mathcal{O}_x\,(x \in X)$. Векторное пространство $T_x(X)=\left(m_x / m_x^2\right)^*$ над $k$ называется касательным пространством к $X$ в точке $x$, а $T_x^*(X)=m_x / m_x^2$ – кокасательным пространством. Число

$$\operatorname{em}\operatorname{dim}_x X=\operatorname{dim} T_x(X)$$называется касательной размерностью (или размерностью вложения) в точке $x$ [последнее наименование связано с тем, что $\operatorname{em} \operatorname{dim} X$ является наименьшим из чисел $n$ таких, что $(X, \mathcal{O})$ в окрестности точки $x$ изоморфно локальной модели в пространстве $k^n$]. Размерность $\operatorname{dim}_x X \leqslant \operatorname{em} \operatorname{dim}_x X$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x$ – простая точка. Определяется также размерность

$$\operatorname{em}\operatorname{dim} X=\sup _{x \in X} \operatorname{em}\operatorname{dim}_x X.$$Каждое аналитическое отображение аналитического пространства $\varphi=\left(\varphi_0, \varphi_1\right): (X, \mathcal{O}_X) \rightarrow(Y, \mathcal{O}_Y)$ определяет линейное отображение $d \varphi_x: T_x(X) \rightarrow T_{\varphi_0(x)}(Y)$, которое называется его дифференциалом в точке $x \in X$.

Аналитическое пространство $(X, \mathcal{O})$ называется приведённым, если его локальная модель в окрестности любой точки обладает тем свойством, что $I$ состоит из всех ростков голоморфных функций, обращающихся в $0$ на $X \subset U$. В случае алгебраически замкнутого поля $k$ это равносильно тому, что слои $\mathcal{O}_x\,\,(x \in X)$ пучка $\mathcal{O}_x$ не содержат нильпотентных элементов. Всякое гладкое пространство является приведённым. Если $(X, \mathcal{O})$ приведено, то можно считать, что $\mathcal{O}$ состоит из ростков некоторых непрерывных функций на $X$. Сечения пучка $\mathcal{O}$ на приведённом пространстве $(X, \mathcal{O})$ отождествляются с аналитическими функциями на $X$, т. е. с аналитическими отображениями $X \rightarrow k$. Для произвольного аналитического пространства $(X, \mathcal{O})$ имеется естественный эпиморфизм пучков $\operatorname{red}: \mathcal{O} \rightarrow \tilde{\mathcal{O}}$ [где $(X, \tilde{\mathcal{O}})$ – приведённое аналитическое пространство], который называется приведением или редукцией. Если $f \in \Gamma(X, \mathcal{O})$ – сечение пучка $\mathcal{O}$, то можно говорить о значении сечения $f$ в точке $x \in X$ (оно совпадает со значением аналитической функции $\operatorname{red} f$ в точке $x$). Поэтому алгебру $\Gamma(X, \mathcal{O})$ и в неприведённом случае часто называют алгеброй аналитических (голоморфных) функций на $(X, \mathcal{O})$. Пучки $\mathcal{O}$-модулей на аналитическом пространстве $(X, \mathcal{O})$ называют также аналитическими пучками.

Если $(X, \mathcal{O})$ – аналитическое пространство, то каждое открытое $U \subset X$ определяет открытое подпространство $(U, \mathcal{O} \mid U)$. С другой стороны, можно ввести понятие аналитического подпространства в $(X, \mathcal{O})$, которое обязательно замкнуто. Множество $Y \subset X$ называется аналитическим, если в окрестности каждой точки $x \in X$ оно определяется конечным числом аналитических уравнений. С таким множеством связан пучок идеалов $I_Y \subset \mathcal{O}$, состоящий из ростков всех аналитических функций, равных $0$ на $Y$. Обратно, каждый аналитический пучок идеалов конечного типа $I \subset G$ определяет аналитическое множество $Y \subset X$. Если $\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_I \mid Y$, получается аналитическое пространство $(Y, \mathcal{O}_Y)$, которое называется аналитическим подпространством в $(X, \mathcal{O})$; имеется естественный морфизм $\left(1, \varphi_1\right):\left(Y, \mathcal{O}_Y\right) \rightarrow(X, \mathcal{O})$. Примером аналитического подпространства в пространстве $(X, \mathcal{O})$ является его редукция.

Понятие аналитического пространства возникло как обобщение понятия аналитического многообразия. Такое обобщение подсказывала прежде всего алгебраическая геометрия, в которой уже давно систематически рассматривались пространства с особыми точками. Влияние идей алгебраической геометрии непосредственно отразилось на окончательной формулировке понятия аналитического пространства [для комплексных пространств в приведённом случае она была дана в (Serre. 1956), в общем случае – в (Комплексные пространства. 1965)]. В частности, каждая схема конечного типа над полным нормированным полем $k$ естественным образом определяет аналитическое пространство над $k$. Это соответствие схем и аналитических пространств над $k$ для приведённых комплексных пространств изучалось в (Serre. 1956), где теория аналитических пространств была названа аналитической геометрией. В дальнейшем обе геометрии развивались параллельно, причём обмен идеями между ними существенно способствовал успехам, достигнутым в обеих этих областях.

В теории функций многих комплексных переменных пространства с особыми точками возникли первоначально как римановы области, являющиеся аналогом римановых поверхностей функций одного переменного. Используя их в качестве локальных моделей, Х. Бенке и К. Штейн (1951) определили некоторый класс окольцованных пространств, который, как показано в (Grauert. 1958), совпадает с классом приведённых нормальных аналитических пространств. Локальная геометрия аналитических множеств в $\mathbb{C}^n$ была изучена ещё B. Рюккертом в 1932 г. Наконец, негладкие аналитические пространства естественным образом возникают в теории автоморфных функций как факторпространства аналитических многообразий по собственным дискретным группам автоморфизмов. $p$-адические аналитические множества появились впервые в работах Т. Сколема (1935) в связи с некоторыми задачами теории чисел.

Теория аналитических пространств имеет два аспекта – локальный и глобальный. Локальная аналитическая геометрия рассматривает ростки аналитических множеств в пространстве $k^n$, снабжённые пучками указанного выше вида. Основную роль здесь играет изучение свойств алгебры сходящихся степенных рядов от $n$ переменных над $k$ и её факторов – т. н. аналитических алгебр, начало которому положил eщё К. Вейерштрасс. К локальной теории относятся теория нормализации, изучение особых точек, локальных свойств аналитических функций и отображений и др. Основные результаты в этой области получены в случае, когда поле $k$ алгебраически замкнуто (см. Abhyankar. 1964; Grauert. 1971; Narasimhan. 1966). Здесь появляется важное понятие когерентного аналитического пучка, играющее далее ведущую роль в глобальной теории. В частности, структурный пучок $\mathcal{O}$ аналитического пространства $(X, \mathcal{O})$ и пучок идеалов $I_Y$ любого аналитического множества $Y \subset X$ оказываются (в случае алгебраически замкнутого $k$ ) когерентными. Хорошо изучен также случай $k=R$.

Глобальная аналитическая геометрия изучает свойства аналитических функций, отображений и других аналитических объектов, заданных «в целом» на всём аналитическом пространстве, а также геометрические свойства этих пространств. В процессе изучения комплексных аналитических пространств были выделены их естественные классы. Это прежде всего класс пространств Штейна, который можно грубо охарактеризовать как класс пространств, обладающих достаточно большим запасом глобальных голоморфных функций. Пространства Штейна являются наиболее естественным многомерным обобщением областей комплексной плоскости, рассматриваемых в классической теории функций одного комплексного переменного. Этот класс пространств по существу совпадает с классом аналитических подпространств в пространствах $\mathbb{C}^n$. Его алгебраическим аналогом является класс аффинных алгебраических многообразий.

Для области $D \subset \mathbb{C}^n$ голоморфная полнота равносильна тому, что $D$ – область голоморфности, т. е. что в $D$ существует голоморфная функция, не продолжающаяся в большую область. Граница области голоморфности обладает свойством псевдовыпуклости, т. е. ведёт себя по отношению к локальным аналитическим подмногообразиям в $\mathbb{C}^n$ так же, как выпуклая поверхность по отношению к линейным вещественным подмногообразиям. Вопрос о справедливости обратного утверждения (см. в статье Проблема Леви) породил ряд исследований и привёл к новой характеризации пространств Штейна.

В известном смысле противоположным является класс компактных комплексных пространств. Справедливо следующее обобщение классической теоремы Лиувилля: функции, голоморфные на приведённом компактном пространстве, постоянны на каждой связной компоненте этого пространства и, следовательно, составляют конечномерное векторное пространство. Обобщением этой теоремы являются теоремы конечности, утверждающие конечномерность групп когомологий со значениями в когерентном аналитическом пучке. Рассматриваются также голоморфно выпуклые комплексные пространства, $q$-полные, $q$-псевдовыпуклые, $q$-псевдовогнутые пространства, являющиеся обобщением пространств Штейна и компактных пространств.

Перечисленные классы комплексных пространств имеют свои аналоги в теории голоморфных отображений. Например, компактным пространствам соответствуют собственные голоморфные отображения, голоморфно полным – штейновы отображения и т. п. Для многих теорем найдены «относительные» аналоги, причём «абсолютный» вариант теоремы получается из «относительного» в случае, когда всё пространство отображается в точку. Соответствующим обобщением теорем конечности являются теоремы о когерентности прямых образов когерентных аналитических пучков при голоморфных отображениях, первая и важнейшая из которых (для собственных отображений) была доказана Г. Грауэртом (см. Комплексные пространства. 1965).

Большую роль в теории комплексных пространств играют голоморфные отображения специального вида – т. н. модификации, т. е. отображения $f: X \rightarrow Y$, индуцирующие изоморфизм открытых подпространств $X \backslash X_1 \rightarrow Y \backslash Y_1$, где $X_1 \subset X$, $Y_1 \subset Y$ – некоторые аналитические множества. При этом говорят, что $Y$ получается из $X$ путём «стягивания» подмножества $X_1$ на $Y_1$, а $X$ из $Y$ – путём «раздувания» подмножества $Y_1$ в $X_1$. Особый интерес представляют аналитические подмножества, которые можно стянуть в точку (исключительные аналитические множества); их характеризация дана Г. Грауэртом (см. Комплексные пространства. 1965). Естественной проблемой аналитической геометрии является следующая проблема разрешения особенностей: можно ли «раздуть» подпространство аналитического пространства так, чтобы всё пространство стало гладким? Следует отметить, что модификации в алгебраической геометрии изучались ещё в 19 в., а в аналитической геометрии были введены Х. Бенке и К. Штейном в 1951 г. в связи с понятием римановой области.

Другим естественным объектом изучения, также тесно связанным с идеями алгебраической геометрии, являются мероморфные функции на комплексных пространствах и их обобщения – мероморфные отображения (примером может служить «отображение», обратное к модификации). На приведённом компактном комплексном пространстве $X$ мероморфные функции образуют поле степени трансцендентности $t(X) \leqslant \operatorname{dim} X$ (в гладком случае это впервые доказал К. Зигель в 1955). Пространства $X$, для которых $t(X)=\operatorname{dim} X$, образуют класс, весьма близкий к классу проективных алгебраических многообразий (см. в статье Алгебраическое пространство); они могут быть охарактеризованы тем, что являются модификациями гладких проективных алгебраических многообразий. Другим близким к алгебраическим многообразиям классом аналитических пространств являются кэлеровы многообразия. Известен ряд критериев проективности компактного комплексного пространства (Ганнинг. 1969; Комплексные пространства. 1965; Чжэнь Шэн-шэнь. 1961). Большую роль в развитии этого раздела сыграли работы по автоморфным функциям многих комплексных переменных.

Теория деформаций аналитических структур изучает задачу классификации аналитических объектов заданного типа (например, всех комплексных структур на заданном вещественном аналитическом многообразии, всех аналитических подпространств в заданном комплексном пространстве и т. п.), причём цель состоит в том, чтобы ввести на множестве этих объектов «естественную» структуру комплексного пространства, а также задачу описания всех аналитических объектов, «достаточно близких» к заданному. В первом случае говорят о проблеме глобальных модулей, а во втором – о проблеме локальных модулей. Примером проблемы глобальных модулей является задача классификации всех комплексных структур на компактной римановой поверхности (см. Модули римановой поверхности).

Основным аппаратом глобальной аналитической геометрии являются когерентные аналитические пучки и их когомологии. Первым успехом когомологического метода явилось решение А. Картаном аддитивной проблемы Кузена и проблемы продолжения голоморфной функции с замкнутого подмногообразия $Y \subset X$ для многообразия Штейна $(X, O)$; как выяснилось, препятствия к решению этих задач лежат в группах когомологий $H^1(X, O)$ и $H^1\left(X, I_Y\right)$ соответственно.

Результаты глобальной теории, как правило, вначале доказывались для комплексных многообразий, а затем уже обобщались на случай комплексных пространств. Возникающие при этом обобщении трудности часто требовали разработки совершенно новых методов. На комплексном многообразии когомологии локально свободного аналитического пучка можно выразить в терминах дифференциальных форм (теорема Дольбо – Ceppa), что даёт возможность применять для их изучения методы теории эллиптических дифференциальных уравнений и другие аналитические методы. В негладком случае этот путь связан с большими трудностями, и часто приходится задавать классы когомологий другими способами, например с помощью коцепей Чеха в подходящем покрытии. Здесь оказалась полезной техника банаховых аналитических пространств, развитая в связи с проблемами модулей.