Аналити́ческое многообра́зие, многообразие с аналитическим атласом. Структура $n$-мерного аналитического многообразия над полным недискретно нормированным полем $k$ на топологическом пространстве $M$ определяется заданием на $M$ аналитического атласа над $k$, т. е. набора карт со значениями в $k^n$, покрывающего $M$, любые две карты из которого связаны между собой аналитически. При этом считается, что два атласа определяют одну и ту же структуру, если их объединение является аналитическим атласом. На аналитическом многообразии $M$ определён пучок $\mathcal O$ ростков $k$-значных аналитических функций. Возникающий таким образом класс окольцованных пространств $(M, \mathcal O)$ совпадает с классом гладких аналитических пространств над $k$.

В случае, если $k$ – поле действительных чисел $\mathbb R$, говорят о вещественных аналитических многообразиях; если $k$ – поле комплексных чисел $\mathbb C$, – о комплексных аналитических (или просто комплексных) многообразиях; если $k$ – поле $p$-адических чисел $\mathbb Q_p$, – о $p$-адических аналитических многообразиях. Примерами аналитических многообразий являются: $n$-мерное евклидово пространство $k^n$, $n$-мерное проективное пространство над $k$, аффинные и проективные алгебраические многообразия над $k$ без особых точек, группы Ли и их однородные пространства.

Понятие аналитического многообразия восходит к Б. Риману и Ф. Клейну (В. Riemann, F. Klein), но впервые было точно сформулировано Г. Вейлем (Weyl. 1955) для случая римановых поверхностей, т. е. одномерных комплексных многообразий. Аналитические многообразия естественно рассматривать как частный случай аналитических пространств, которые можно грубо описать как «многообразия с особыми точками». Понятие аналитического пространства возникло в 50-х гг. 20 в. и стало основным объектом теории аналитических функций; многие фундаментальные результаты, полученные для аналитических многообразий, удалось перенести на негладкий случай. Изложение общих свойств аналитических многообразий над произвольным полем можно найти в работе Ж.-П. Серра (Серр. 1969).

Существует тесная связь между теориями вещественных аналитических и дифференцируемых многообразий, а также между теориями вещественных и комплексных аналитических многообразий. Очевидно, на всяком вещественном аналитическом многообразии определена естественная структура многообразия класса $C^\infty$. В 1936 г. X. Уитни (Н. Whitney) доказал, что и обратно, на всяком паракомпактном многообразии класса $C^\infty$ можно определить аналитическую структуру над $\mathbb R$, индуцирующую исходную гладкую структуру. Из теоремы Г. Грауэрта (Н. Grayert) о вложимости паракомпактного аналитического многообразия над $\mathbb R$ в евклидово пространство следует, что эта аналитическая структура определена однозначно, с точностью до изоморфизма (не обязательно тождественного) (см. Нарасимхан. 1971).

На каждом комплексном многообразии $M$ определена естественная структура вещественного аналитического многообразия (удвоенной размерности). Ответ на обратный вопрос, т. е. на вопрос о существовании и единственности комплексной структуры на заданном вещественном аналитическом многообразии, получен только в простейших случаях. Так, если $M$ – связное двумерное вещественное аналитическое многообразие, то необходимыми и достаточными условиями существования комплексной структуры на $M$ являются паракомпактность и ориентируемость, а задача классификации этих структур есть классическая задача о модулях римановых поверхностей. Имеется классификация компактных аналитических поверхностей (т. е. двумерных компактных комплексных многообразий), дающая частичный ответ на поставленный выше вопрос для 4-мерных вещественных многообразий. С другой стороны, при помощи топологических методов можно указать классы вещественных многообразий, не допускающих почти комплексных и тем более комплексных структур. К таким многообразиям относятся сферы $S^{2k}$ при $k \ne 1, \, 3$.

Описание комплексных структур, достаточно близких к заданной, даёт теория деформаций аналитических структур, важную роль в которой играют банаховы аналитические многообразия – бесконечномерные аналоги аналитических многообразий.