Голомо́рфная фо́рма степени $p$ на комплексном многообразии $M$, дифференциальная форма $\alpha$ типа $(p, 0)$, удовлетворяющая условию $d^{\prime \prime} \alpha=0$, т. е. форма, которая в локальных координатах $z_1, \ldots, z_n$ на $M$ записывается в виде$$\alpha=\sum_{i_1, \ldots, i_p} a_{i_1 \ldots i_p}\, d z^{i_1} \wedge \ldots \wedge d z{i_{p}},$$где $a_{i_1 \ldots i_p}$ – голоморфные функции. Голоморфные формы степени $p$ образуют векторное пространство $\Omega^p(M)$ над полем $\mathbb{C}$; $\Omega^0(M)$ – это пространство голоморфных функций на $M$.

На компактном кэлеровом многообразии $M$ пространство $\Omega^p(M)$ совпадает с пространством $H^{p, 0}(M)$ гармонических форм типа $(p, 0)$, откуда следует, что $2 \operatorname{dim} \Omega^1(M)$ есть первое число Бетти многообразия (Чжэнь Шэн-шэнь. 1961). Голоморфные формы на римановой поверхности $M$ называются также дифференциалами первого рода; если поверхность $M$ компактна, то $\operatorname{dim} \Omega^{1}(M)$ равна её роду.

Пространства $\Omega^p(M)$, $p=0,1, \ldots, \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} M$, образуют локально точный комплекс относительно оператора $d$, называемый голоморфным комплексом де Рама. Если $M$ – многообразие Штейна, то когомологии этого комплекса изоморфны комплексным когомологиям $H^p(M, \mathbb{C})$ и $H^p(M, \mathbb{C})=0$ при $p>\operatorname{dim}_ \mathbb{C} M$ (Ганнинг. 1969).

Аналогично определяются голоморфные формы со значениями в некотором векторном аналитическом расслоении $E$ над $M$ (голоморфные $0$-формы здесь – голоморфные сечения расслоения). Ростки голоморфных форм степени $p$ со значениями в $E$ образуют локально свободный аналитический пучок $\Omega_E^p$. Комплекс Дольбо форм типа $(p, q)$, $q=0,1, \ldots, \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} M$, со значениями в $E$ есть тонкая резольвента этого пучка, откуда$$H^{p, q}(M, E) \cong H^q\left(M, \Omega_E^p\right)$$[теорема Дольбо – Серра (Чжэнь Шэн-шэнь. 1961), (Уэллс. 1976)].

Определение голоморфной формы можно распространить также на комплексные аналитические пространства. Достаточно сделать это для локальных моделей, т. е. в случае, когда пространство $X$ является аналитическим подпространством в области $G \subset \mathbb{C}^n$. Пучок ростков голоморфных $p$-форм $\Omega_X^p$ на $X$ определяется как $\Omega_G^p / K^p \upharpoonright X,$ где $\Omega_G^p$ – пучок ростков голоморфных $p$-форм в $G$, a $K^p$ состоит из ростков форм вида$$\begin{gathered} \sum_{k=1}^r f_k \alpha_k+\sum_{l=1}^s d g_l \wedge \beta_l, \\ f_k, g_l \in I,\quad \alpha_k \in \Omega_{G}^p, \quad \beta_l \in \Omega_G^{p-1}, \end{gathered}$$где $I$ – пучок идеалов, задающий $X$. Определяется также голоморфный комплекс де Рама пространства $X$, который, однако, не является локально точным. Для тогo чтобы этот комплекс был локально точен в точке $x \in X$, начиная с $k$-й степени, достаточно, чтобы $X$ в окрестности точки $x$ допускало голоморфное стягивание на локальное аналитическое множество $Y \subset X$, для которого $\operatorname{em\;dim}_x Y=k$ (Reiffen. 1967).