Ве́кторное расслое́ние, локально тривиальное расслоение $\pi: X \rightarrow B$, каждый слой которого $\pi^{-1}(b)$ наделен структурой векторного пространства $V$ (обычно конечномерного) над полем $\mathfrak{k}$; его размерность $\operatorname{dim} V$ называется размерностью векторного расслоения. Сечения векторного расслоения $\pi$ образуют локально свободный модуль $\Gamma(\pi)$ над кольцом непрерывных функций на $B$ со значениями в $\mathfrak{k}$. Морфизмом векторных расслоений называют морфизм расслоений $f: \pi \rightarrow \pi^{\prime}$, для которого каждое отображение $f|_{\pi^{-1}(b)}$ является линейным отображением. Совокупность векторных расслоений и их морфизмов образует категорию $\operatorname{Bund}$. Понятие векторного расслоения возникло как обобщение касательного расслоения и нормального расслоения в дифференциальной геометрии; в настоящее время оно является базой и орудием исследования в различных областях математики – дифференциальной и алгебраической топологии, теории линейных связностей, алгебраической геометрии, теории псевдодифференциальных операторов и т. д.

Подмножество $X^{\prime} \subset X$, такое, что $\left.\pi\right|_{X^{\prime}}: X^{\prime} \rightarrow B$ есть векторное расслоение и $X^{\prime} \cap \pi^{-1}(b)$ – векторное подпространство в $\pi^{-1}(b)$ для каждого $b\in B$, называется подрасслоением векторного расслоения $\pi$. Пусть, например, $V$ – векторное пространство и $G_k(V)$ – многообразие Грассмана подпространств размерности $k$ в $V$; тогда подмножество произведения $G_k(V) \times V$, состоящее из пар $(p, v)$, таких, что $v \in p$, есть подрасслоение $\gamma_k$ тривиального векторного расслоения $G_k(V) \times V$. Пусть $\pi_2$ – подрасслоение векторного расслоения $\pi$; дизъюнктное объединение всех векторных пространств $\pi^{-1}(b) / \pi_2^{-1}(b)$, снабжённое фактортопологией, называется факторрасслоением векторного расслоения $\pi$. Пусть, например, $V$ – векторное пространство и $G^k(V)$ – многообразие Грассмана подпространств коразмерности $k$ в $V$; тогда факторпространство произведения $G^k(V) \times V$ по подрасслоению, состоящему из пар $(p, v)$, где $v \in p$, есть факторрасслоение $\gamma^k$ тривиального векторного расслоения $G^k(V) \times V$. Понятия подрасслоения и факторрасслоения используются в конструкциях стягивания и склеивания, применяющихся для построения векторных расслоений над факторпространствами.

Морфизм $f: \pi \rightarrow \pi^{\prime}$ векторных расслоений с одной и той же базой $B$ над тождественным морфизмом базы называется $B$-морфизмом векторных расслоений. $B$-морфизм векторных расслоений $f: \pi \rightarrow \pi^{\prime}$ называется точным, если размерность $\operatorname{dim} \operatorname{ker} f|_{ \pi^{-1}(b)}$ локально постоянна на $B$. Инъективные и сюръективные морфизмы являются точными и называются, соответственно, мономорфизмами и эпиморфизмами векторных расслоений. Для точного морфизма $f$ однозначно определены следующие векторные расслоения: $\operatorname{Ker} f$ (ядро $f$) – подрасслоение в $\pi$, $\operatorname{Im} f$ (образ $f$) – подрасслоение в $\pi^{\prime}$, $\operatorname{Coker} f$ (коядро $f$) – факторрасслоение векторного расслоения $\pi$, $\operatorname{Coim}f$ (кообраз $f$ ) – факторрасслоение векторного расслоения $\pi^{\prime}$; каждое подрасслоение $\pi_1$ является образом некоторого мономорфизма $i: \pi_1 \rightarrow \pi$, а факторрасслоение $\pi_2$ – коядром некоторого эпиморфизма $j: \pi \rightarrow \pi_2$. Последовательность $B$-морфизмов векторных расслоений$$\ldots \rightarrow \pi^{\prime} \rightarrow \pi \rightarrow \pi^{\prime \prime} \rightarrow \ldots$$называется точной, если для всех $b \in B$ является точной последовательность$$\ldots \rightarrow\left(\pi^{\prime}\right)^{-1}(b) \rightarrow \pi^{-1}(b) \rightarrow\left(\pi^{\prime \prime}\right)^{-1}(b) \rightarrow \ldots$$В частности, последовательность$$0 \rightarrow \pi_1 \stackrel{i}{\rightarrow} \pi \stackrel{j}{\rightarrow} \pi_2 \rightarrow 0$$(где $0$ – нулевое векторное расслоение: $X=B$, $\pi=\operatorname{id}$) точна, если $i$ – мономорфизм, $j$ – эпиморфизм и $\operatorname{Im} i=\mathrm{Ker} j$. Совокупность векторных расслоений над $B$ и их точных $B$-морфизмов образует точную подкатегорию $\operatorname{Bund}_B$ категории $\operatorname{Bund}$.

Для любого векторного расслоения $\pi: X \rightarrow B$ и отображения $u: B_1 \rightarrow B$ индуцированное расслоение $u^*(\pi)$ снабжается такой структурой векторного расслоения, что морфизм $U: u^*(\pi) \rightarrow \pi$ является морфизмом векторных расслоений. Эта структура единственна и обладает тем свойством, что каждое отображение $\left(u^*(\pi)\right)^{-1}(b) \rightarrow \pi^{-1}(u(b))$ является изоморфизмом векторных пространств. Например, каждое векторное расслоение размерности $k$ над паракомпактным пространством $B$ изоморфно векторным расслоениям $u^*\left(\gamma_k\right)$ и $\tilde{u}^*\left(\gamma^k\right),$ индуцированным некоторыми отображениями $u: B \rightarrow G_k(V)$ и $\tilde{u}: B \rightarrow G^k(V)$ соответственно, причем гомотопные отображения индуцируют изоморфные векторные расслоения, а если $\operatorname{dim} V \neq \infty$, то верно и обратное: изоморфным векторным расслоениям соответствуют гомотопные отображения $u$ и $\tilde{u}$. Это одна из основных теорем гомотопической классификации векторных расслоений, выражающая универсальность векторных расслоений $\gamma_k$ и $\gamma^k$ по отношению к классифицирующим отображениям $u$ и $\tilde{u}$.

Любой непрерывной операции (функтору) $T$ на категории векторных пространств однозначно соответствует непрерывный функтор на категории векторных расслоений над $B$; таким образом строятся расслоения, ассоциированные с данным векторным расслоением: тензорные расслоения, векторные расслоения морфизмов $\mathrm{Hom}_B\left(\pi, \pi^{\prime}\right)$ и, в частности, сопряжённое векторное расслоение $\pi^*$, внешние степени векторных расслоений и т. д., сечения которых наделяют векторные расслоения дополнительными структурами, широко используемыми в приложениях.

Для векторных расслоений $\pi$ и $\pi^{\prime}$ определяются прямая сумма (сумма Уитни) $\pi \oplus \pi^{\prime}$ и тензорное произведение $\pi \otimes \pi^{\prime}$; относительно этих операций множество $\operatorname{Vect}_B$ классов изоморфных векторных расслоений над $B$ есть полукольцо, играющее важную роль в построении K-функтора; так, если для векторных расслоений $\pi$ и $\pi^{\prime}$ существуют тривиальные векторные расслоения $\theta$ и $\theta^{\prime}$, такие, что векторные расслоения $\pi \oplus \theta$ и $\pi^{\prime} \oplus \theta^{\prime}$ изоморфны (т. е. $\pi$ и $\pi^{\prime}$ стабильно эквивалентны), то их образы в пополнении $K(B)$ полукольца $\operatorname{Vect}_B$ совпадают, при этом для паракомпактного пространства $B$ кольцо $K(B)$ как множество совпадает с множеством классов стабильной эквивалентности векторных расслоений, поскольку для любого векторного расслоения $\theta$ над $B$ существует векторное расслоение $\theta'$, такое, что сумма $\theta\oplus\theta'$ изоморфна тривиальному расслоению.

Пусть $P$ – тривиальное одномерное векторное расслоение над паракомпактным пространством $B$. Для каждого векторного расслоения $\pi: X \rightarrow B$ существует сечение $\beta$ векторного расслоения$$\pi^* \oplus \pi^*=\operatorname{Hom}(\pi \oplus \pi, P),$$являющееся на каждом слое $\pi^{-1}(b)$ положительно определённой формой; иными словами, $\pi$ метризуемо. Это, в частности, позволяет установить, что любая точная последовательность векторных расслоений $0 \rightarrow \xi \stackrel{u} \rightarrow \pi \stackrel{v}{\rightarrow} \zeta \rightarrow 0$ расщепляется, т. е. существует такой морфизм $w$ : $\xi \oplus \zeta \rightarrow \pi$, что $w i=u$ и $v w=j$, где $i$ – вложение первого слагаемого в прямую сумму, а $j$ – проекция на второе слагаемое.

Отождествлением в каждом слое $\pi^{-1}$ (b) векторного расслоения $\pi: X \rightarrow B$ точек, лежащих на одной прямой, проходящей через $0$, получается расслоение $\pi_0: \Pi(\pi) \rightarrow B$, ассоциированное с векторным расслоением $\pi$ и называемое его проективизацией; слоем расслоения $\pi_0$ является проективное пространство $\Pi(V)$, ассоциированное с $V$. С помощью этого расслоения изучаются пространства Тома $T(\pi)=\Pi(\pi \oplus \theta) / \Pi(\pi)$, используемые для гомотопической интерпретации классов бордантных многообразий, характеристических классов векторных расслоений, описывающих гомологические свойства многообразий, и т. д.

Понятие векторного расслоения обобщается на случай, когда слой является бесконечномерным векторным пространством; при этом следует различать разные топологии пространства морфизмов $\operatorname{Hom}\left(\pi, \pi^{\prime}\right)$, вносить соответствующие изменения в определение точности морфизмов и их последовательностей, а также в построение векторных расслоений, ассоциированных с непрерывными функторами на категории бесконечномерных векторных пространств.