Ква́нтовая меха́ника, раздел теоретичеcкой физики, представляющий собой систему понятий и математический аппарат, необходимые для описания физических явлений, обусловленных существованием в природе наименьшего кванта действия $h$ (постоянной Планка). Численное значение $h=6,62607·10^{–34}$ Дж·с (и другое, часто используемое значение $\hbar=h/2\pi=1,05457·10 ^{–34}$ Дж·с) чрезвычайно мало, но тот факт, что оно конечно, принципиально отличает квантовые явления от всех других и определяет их основные особенности. К квантовым явлениям относятся процессы излучения, явления атомной и ядерной физики, физики конденсированных сред, химическая связь и др.

История создания квантовой механики

Исторически первым явлением, для объяснения которого в 1900 г. было введено понятие кванта действия $h$, был спектр излучения абсолютно чёрного тела, т. е. зависимость интенсивности теплового излучения от его частоты $\nu$ и температуры $T$ нагретого тела. Первоначально связь этого явления с процессами, происходящими в атоме, не была ясна; в то время не была общепризнанной и сама идея атома, хотя уже тогда были известны наблюдения, которые указывали на сложную внутриатомную структуру.

В 1802 г. У. Волластон обнаружил в спектре излучения Солнца узкие спектральные линии, которые в 1814 г. подробно описал Й. Фраунгофер. В 1859 г. Г. Кирхгоф и Р. В. Бунзен установили, что каждому химическому элементу присущ индивидуальный набор спектральных линий, а швейцарский учёный И. Я. Бальмер (1885), шведский физик Й. Ридберг (1890) и немецкий учёный В. Ритц (1908) обнаружили в их расположении определённые закономерности. В 1896 г. П. Зееман наблюдал расщепление спектральных линий в магнитном поле (эффект Зеемана), которое Х. А. Лоренц в следующем году объяснил движением электрона в атоме. Существование электрона экспериментально доказал в 1897 г. Дж. Дж. Томсон.

Существующие физические теории оказались недостаточными для объяснения законов фотоэффекта: оказалось, что энергия электронов, вылетающих из вещества при облучении его светом, зависит только от частоты света $v$, а не от его интенсивности (А. Г. Столетов, 1889; Ф. фон Ленард, 1904). Этот факт полностью противоречил общепринятой в то время волновой природе света, но естественно объяснялся в предположении, что свет распространяется в виде квантов энергии $E=h \nu$ (А. Эйнштейн, 1905), названных впоследствии фотонами (Г. Льюис, 1926).

В течение 10 лет после открытия электрона было предложено несколько моделей атома, не подкреплённых, однако, экспериментами. В 1909–1911 гг. Э. Резерфорд, изучая рассеяние альфа-частиц на атомах, установил существование компактного положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена практически вся масса атома. Эти эксперименты стали основой планетарной модели атома: положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Такая модель, однако, противоречила факту стабильности атома, поскольку из классической электродинамики следовало, что через время порядка 10^–9 с вращающийся электрон упадёт на ядро, потеряв энергию на излучение.

В 1913 г. Н. Бор предположил, что стабильность планетарного атома объясняется конечностью кванта действия $h$. Он постулировал, что в атоме существуют стационарные орбиты, на которых электрон не излучает (первый постулат Бора), и выделил эти орбиты из всех возможных условием квантования: $2 \pi mvr=n h$, где $m$ – масса электрона, $v$ – его орбитальная скорость, $r$ – расстояние до ядра, $n=1,2,3,\dots$ – целые числа. Из этого условия Бор определил энергии $E_n=-me^4/2 \hbar^2n^2$ (e – электрический заряд электрона) стационарных состояний, а также диаметр атома водорода (порядка 10^–8 cм) – в полном соответствии с выводами кинетической теории материи.

Второй постулат Бора утверждал, что излучение происходит только при переходах электронов с одной стационарной орбиты на другую, причём частота излучения $\nu_{nk}$ переходов из состояния $E_n$ в состояние $E_k$ равна $\nu_{nk}=(E_k-E_n)/h$ (см. Атомная физика). Теория Бора естественным образом объясняла закономерности в спектрах атомов, однако её постулаты находились в очевидном противоречии с классической механикой и теорией электромагнитного поля.

В 1922 г. А. Комптон, изучая рассеяние рентгеновских лучей на электронах, установил, что падающий и рассеянный рентгеновские кванты энергии ведут себя как частицы. В 1923 г. Ч. Т. Р. Вильсон и Д. В. Скобельцын наблюдали электрон отдачи в этой реакции и тем самым подтвердили корпускулярную природу рентгеновских лучей (ядерного $\gamma$-излучения). Это, однако, противоречило опытам М. фон Лауэ, который ещё в 1912 г. наблюдал дифракцию рентгеновских лучей и тем самым доказал их волновую природу.

В 1921 г. немецкий физик К. Рамзауэр обнаружил, что при определённой энергии электроны проходят сквозь газы, практически не рассеиваясь, подобно световым волнам в прозрачной среде. Это было первое экспериментальное свидетельство о волновых свойствах электрона, реальность которых в 1927 г. была подтверждена прямыми опытами К. Дж. Дэвиссона, Л. Джермера и Дж. П. Томсона.

В 1923 г. Л. де Бройль ввёл понятие волн материи: каждой частице с массой $m$ и скоростью $v$ можно сопоставить волну с длиной $\lambda=h/mv$, точно так же, как каждой волне с частотой $\nu=c/\lambda$ можно сопоставить частицу с энергией $E=h \nu$. Обобщение этой гипотезы, известное как корпускулярно-волновой дуализм, стало фундаментом и универсальным принципом квантовой физики. Рис. 1. Интерференция рентгеновского излучения. 1963. Фото: Стратер Арнотт. Королевский колледж Лондона. Адаптация: БРЭ.Рис. 1. Интерференция рентгеновского излучения. 1963. Фото: Стратер Арнотт. Королевский колледж Лондона. Адаптация: БРЭ.Суть его состоит в том, что одни и те же объекты исследования проявляют себя двояко: либо как частица, либо как волна – в зависимости от условий их наблюдения.

Соотношения между характеристиками волны и частицы были установлены ещё до создания квантовой механики: $E=h \nu$ (1900) и $\lambda=h/mv=h/p$ (1923), где частота $\nu$ и длина волны $\lambda$ – характеристики волны, а энергия $E$ и масса $m$, скорость $v$ и импульс $p=mv$ – характеристики частицы; связь между этими двумя типами характеристик осуществляется через постоянную Планка $h$. Наиболее отчётливо соотношения дуальности выражаются через круговую частоту $\omega=2 \pi \nu$ и волновой вектор $\boldsymbol k=2\pi/\lambda$: $E=\hbar \omega, \boldsymbol p =\hbar \boldsymbol k$. Наглядная иллюстрация дуализма волна – частица представлена на рисунке 1: дифракционные кольца, наблюдаемые при рассеянии электронов и рентгеновских лучей, практически идентичны.

Квантовая механика – теоретичеcкий базис всей квантовой физики – была создана за неполных три года. В 1925 г. В. Гейзенберг, опираясь на идеи Бора, предложил матричную механику, которая к концу того же года приобрела вид законченной теории в трудах М. Борна, немецкого физика П. Йордана и П. Дирака. Основными объектами этой теории стали матрицы специального вида, которые в квантовой механике представляют физические величины классической механики.

В 1926 г. Э. Шрёдингер, исходя из представлений Л. де Бройля о волнах материи, предложил волновую механику, где основную роль играет волновая функция квантового состояния, которая подчиняется дифференциальному уравнению 2-го порядка с заданными граничными условиями. Обе теории одинаково хорошо объясняли устойчивость планетарного атома и позволяли вычислить его основные характеристики. В том же году М. Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции, Шрёдингер (а также независимо В. Паули и др.) доказал математическую эквивалентность матричной и волновой механик, а Борн совместно с Н. Винером ввёл понятие оператора физической величины.

В 1927 г. В. Гейзенберг открыл соотношение неопределённостей, а Н. Бор сформулировал принцип дополнительности. Открытие спина электрона (Дж. Уленбек и С. Гаудсмит, 1925) и вывод уравнения Паули, учитывающего спин электрона (1927), завершили логическую и расчётную схемы нерелятивистской квантовой механики, а П. Дирак и Дж. фон Нейман изложили квантовую механику как законченную концептуально независимую теорию на базе ограниченного набора понятий и постулатов, таких как оператор, вектор состояния, амплитуда вероятности, суперпозиция состояний и др.

Основные понятия и формализм квантовой механики

Основным уравнением квантовой механики является волновое уравнение Шрёдингера, роль которого подобна роли уравнений Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в электродинамике. В пространстве переменных $x$ (координата) и $t$ (время) оно имеет вид $i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H} \psi$, где $\hat H$  – оператор Гамильтона; его вид совпадает с оператором Гамильтона классической механики, в котором координата $x$ и импульс $p$ заменены на операторы $\hat x$ и $\hat p$ этих переменных, т. е. $\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(x), \hat x=x, \hat p=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$, где V(x) – потенциальная энергия системы.

В отличие от уравнения Ньютона, из которого находится наблюдаемая траектория $x(t)$ материальной точки, движущейся в поле сил потенциала $V(\boldsymbol x)$, из уравнения Шрёдингера находят ненаблюдаемую волновую функцию $\psi(\boldsymbol x)$ квантовой системы, с помощью которой, однако, можно вычислить значения всех измеримых величин. Сразу же после открытия уравнения Шрёдингера М. Борн объяснил смысл волновой функции: $|\psi(x)|^2$ – это плотность вероятности, а $|\psi(x)|^2\cdot \Delta x$ – вероятность обнаружить квантовую систему в интервале $\Delta x$ значений координаты $x$.

Каждой физической величине (динамической переменной классической механики) в квантовой механике сопоставляется наблюдаемая $a$ и соответствующий ей эрмитов оператор $\hat A$, который в выбранном базисе комплексных функций $|i\rangle=f_i(x)$ представляется матрицей $A_{ij}=\langle i|\hat A|j\rangle=\int f_i^*(x)\hat Af_j(x)dx$, где $f^*(x)$ – функция, комплексно сопряжённая к функции $f(x)$.

Ортогональным базисом в этом пространстве является набор собственных функций $|n\rangle=|f_n(x)\rangle$, $n=1,2,3,\dots$, для которых действие оператора $\hat A$ сводится к умножению на число (собственное значение $a_n$ оператора $\hat A$): $\hat A|n\rangle=a_n| n\rangle$. Базис функций $|n\rangle$ нормирован условием $\langle n|n'\rangle=\delta_{nn'} = \begin{cases} 1 & \quad \text{при } n=n'\\ 0 & \quad \text{при } n \neq n'\\ \end{cases}$, а число базисных функций (в отличие от базисных векторов трёхмерного пространства классической физики) бесконечно, причём индекс $n$ может изменяться как дискретно, так и непрерывно. Все возможные значения наблюдаемой $a$ содержатся в наборе $\{a_n\}$ собственных значений соответствующего ей оператора $\hat A$, и только эти значения могут стать результатами измерений.

Основным объектом квантовой механики является вектор состояния $|\Psi\rangle$, который может быть разложен по собственным функциям $|n\rangle$ выбранного оператора $\hat A$: $|\Psi\rangle=\sum_n \psi_n|n\rangle$, где $\psi_n$ – амплитуда вероятности (волновая функция) состояния $|n\rangle$, а $|\psi_n|^2$ равно весу состояния $n$ в разложении $|\Psi\rangle$, причём $\langle\Psi|\Psi\rangle=\sum_n|\psi_n|^2=1$, т. е. полная вероятность найти систему в одном из квантовых состояний $n$ равна единице.

В квантовой механике Гейзенберга операторы $\hat A$ и соответствующие им матрицы подчиняются уравнению $i\hbar \frac{\partial \hat A}{\partial t}=[\hat A,\hat H]$, где $|\hat A, \hat H|=\hat A\hat H-\hat H\hat A$ – коммутатор операторов $\hat A$ и $\hat H$. В отличие от схемы Шрёдингера, где от времени зависит волновая функция $\psi$, в схеме Гейзенберга временнáя зависимость отнесена к оператору $\hat A$. Оба эти подхода математически эквивалентны, однако в многочисленных приложениях квантовой механики подход Шрёдингера оказался предпочтительнее.

Собственное значение оператора Гамильтона $\hat H$ есть полная энергия системы $E$, не зависящая от времени, которая находится как решение стационарного уравнения Шрёдингера $\hat H\psi=E\psi$. Его решения подразделяются на два типа в зависимости от вида граничных условий.

Для локализованного состояния волновая функция удовлетворяет естественному граничному условию $\psi(\infty)=0$. В этом случае уравнение Шрёдингера имеет решение только для дискретного набора энергий $E_n, n=1,2,3,\dots$, которым соответствуют волновые функции $\psi_n(\boldsymbol r)$: $\hat H\psi_n=E_n\psi_n$.

Примером локализованного состояния является атом водорода. Его гамильтониан $\hat H$ имеет вид $\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta-\frac{e^2}{r}$, где $\Delta=\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2+\partial^2/\partial z^2$ – оператор Лапласа, $e^2/r$ – потенциал взаимодействия электрона и ядра, $r$ – расстояние от ядра до электрона, а собственные значения энергии $E_n$, вычисленные из уравнения Шрёдингера, совпадают с уровнями энергии атома Бора.

Простейший пример нелокализованного состояния – свободное одномерное движение электрона с импульсом $p$. Ему соответствует уравнение Шрёдингера $\hat p\psi_p=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi_p=p\psi_p$, решением которого является плоская волна $\psi_p(x)=C \exp \{ {i \frac{px}{\hbar}} \} =C\exp\{ikx\}$, где в общем случае $C=|C|\exp\{i\phi\}$ – комплексная функция, $|C|$ и $\phi$ – её модуль и фаза. В этом случае энергия электрона $E=p^2/2m$, а индекс $p$ решения $\psi_p(x)$ принимает непрерывный ряд значений.

Операторы координаты и импульса (и любой другой пары канонически сопряжённых переменных) подчиняются перестановочному (коммутационному) соотношению: $[\hat x, \hat p]=\hat x \hat p-\hat p \hat x=i\hbar$. Общего базиса собственных функций для пар таких операторов не существует, а соответствующие им физические. величины не могут быть определены одновременно с произвольной точностью. Из соотношения коммутации для операторов $\hat x$ и $\hat p$ следует ограничение на точность $\Delta x$ и $\Delta p$ определения координаты $x$ и сопряжённого ей импульса $p$ квантовой системы (соотношение неопределённостей Гейзенберга): $\Delta x\cdot \Delta p \geq \frac {\hbar}{2}$. Отсюда, в частности, сразу следует вывод об устойчивости атома, поскольку соотношение $\Delta x=\Delta p=0$, соответствующее падению электрона на ядро, в этой схеме запрещено.

Совокупность одновременно измеримых величин, характеризующих квантовую систему, представляется набором операторов $\{\hat A, \hat B, \hat C, \dots\}$, коммутирующих между собой, т. е. удовлетворяющих соотношениям $\hat A\hat B-\hat B\hat A=\hat A\hat C-\hat C\hat A=\hat B\hat C-\hat C\hat B=\ldots=0$. Для нерелятивистского атома водорода такой набор составляют, например, операторы: $\hat H$ (оператор полной энергии), $\hat L^2$ (квадрат оператора момента) и $\hat L_z$ ($z$-компонента оператора момента). Вектор состояния атома определяется как совокупность общих собственных функций $\psi_i(\boldsymbol r)$ всех операторов $\hat H$, $\hat L^2$, $\hat L_z$, которые нумеруются набором $\{i\}=(nlm)$ квантовых чисел энергии ($n=1,2,3,\dots$), орбитального момента ($l=0,1,\dots, n-1$) и его проекции на ось $z$ ($m=-l, \dots, -1,0,1,\dots,l$). Функции $|\psi_i(\boldsymbol r)|^2$ можно условно рассматривать как форму атома в различных квантовых состояниях $i$ (т. н. силуэты Уайта).

Значение физической величины (наблюдаемая квантовой механики) определяется как среднее значение $\bar A$ соответствующего ей оператора $\hat A$: $\bar A=\langle\Psi|\hat A|\Psi\rangle=\sum_{m,n}\psi^*_mA_{mn}\psi_n$. Это соотношение справедливо для чистых состояний, т. е. для изолированных квантовых систем. В общем случае смешанных состояний мы всегда имеем дело с большой совокупностью (статистическим ансамблем) идентичных систем (например, атомов), свойства которой определяются путём усреднения по этому ансамблю. В этом случае среднее значение $\bar A$ оператора $\hat A$ принимает вид $\bar A=\sum_{m,n}\rho_{nm}A_{mn}$, где $\rho_{nm}$ – матрица плотности (Л. Д. Ландау, Дж. фон Нейман, 1929) с условием нормировки $\sum_n\rho_{nn}=1$. Формализм матрицы плотности позволяет объединить квантовомеханическое усреднение по состояниям и статистическое усреднение по ансамблю. Матрица плотности играет важную роль также в теории квантовых измерений, суть которых всегда состоит во взаимодействии квантовой и классической подсистем. Понятие матрицы плотности является основой квантовой статистики и базисом для одной из альтернативных формулировок квантовой механики. Ещё одну форму квантовой механики, основанную на понятии континуального интеграла (или интеграла по траекториям), предложил Р. Фейнман в 1948 г.

Принцип соответствия

Квантовая механика имеет глубокие корни как в классической, так и в статистической механике. Уже в своей первой работе Н. Бор сформулировал принцип соответствия, согласно которому квантовые соотношения должны переходить в классические при больших квантовых числах $n$. П. Эренфест в 1927 г. показал, что с учётом уравнений квантовой механики среднее значение $\bar A$ оператора $\hat A$ удовлетворяет уравнению движения классической механики. Теорема Эренфеста есть частный случай общего принципа соответствия: в пределе $h \to 0$ уравнения квантовой механики переходят в уравнения классической механики. В частности, волновое уравнение Шрёдингера в пределе $h \to 0$ переходит в уравнение геометрической оптики для траектории светового луча (и любого излучения) без учёта его волновых свойств. Представив решение $\psi(x)$ уравнения Шрёдингера в виде $\psi(x)=\exp\{iS/\hbar\}$, где $S=\int p(x)dx$ – аналог классического интеграла действия, можно убедиться, что в пределе $\hbar \to 0$ функция $S$ удовлетворяет классическому уравнению Гамильтона – Якоби. Кроме того, в пределе $h \to 0$ операторы $\hat x$ и $\hat p$ коммутируют и соответствующие им значения координаты и импульса могут быть определены одновременно, как это и предполагается в классической механике.

Наиболее существенные аналогии между соотношениями классической и квантовой механик для периодических движений прослеживаются на фазовой плоскости канонически сопряжённых переменных, например координаты $x$ и импульса $p$ системы. Интегралы типа $\oint p(x)dx$, взятые по замкнутой траектории (интегральные инварианты Пуанкаре), известны в предыстории квантовой механики как адиабатические инварианты Эренфеста. А. Зоммерфельд использовал их для описания квантовых закономерностей на языке классической механики, в частности для пространственного квантования атома и введения квантовых чисел $l$ и $m$ (именно он ввёл этот термин в 1915).

Размерность фазового интеграла $\oint pdx$ совпадает с размерностью постоянной Планка $h$, и в 1911 г. А. Пуанкаре и М. Планк предложили рассматривать квант действия $h$ как минимальный объём фазового пространства, число $n$ ячеек которого кратно $h$: $n=\oint pdx/h$. В частности, при движении электрона по круговой траектории с постоянным импульсом $p$ из соотношения $n=\oint p(x)dx/\hbar=p \cdot 2\pi r/h$ сразу следует условие квантования Бора: $mvr=n h$ (П. Дебай, 1913).

Однако в случае одномерного движения в потенциале $V(x)=m\omega_0^2x^2/2$ (гармонический осциллятор с собственной частотой $\omega_0$) из условия квантования $\oint p(x)dx=n h$ следует ряд значений энергии $E_n=\hbar \omega_0n$, в то время как точное решение квантовых уравнений для осциллятора приводит к последовательности $E_n=\hbar \omega_0(n+1/2)$. Этот результат квантовой механики, впервые полученный В. Гейзенбергом, принципиально отличается от приближённого наличием нулевой энергии колебаний $E_0=\hbar \omega_0/2$, которая имеет чисто квантовую природу: состояние покоя ($x=0, p=0$) в квантовой механике запрещено, поскольку оно противоречит соотношению неопределённостей $\Delta x\cdot\Delta p \geq \hbar/2$.

Принцип суперпозиции состояний и вероятностная интерпретация

Основное и наглядное противоречие между корпускулярной и волновой картинами квантовых явлений удалось устранить в 1926 г., после того как М. Борн предложил интерпретировать комплексную волновую функцию $\psi_n(x)=|\psi_n(x)|\cdot \exp(i \phi_n)$ как амплитуду вероятности состояния $n$, а квадрат её модуля $|\psi_n(x)|^2$ – как плотность вероятности обнаружить состояние $n$ в точке $x$. Квантовая система может находиться в различных, в том числе альтернативных, состояниях, а её амплитуда вероятности равна линейной комбинации амплитуд вероятности этих состояний: $\psi=\psi_1+\psi_2+\dots$ Плотность вероятности результирующего состояния равна квадрату суммы амплитуд вероятности, а не сумме квадратов амплитуд, как это имеет место в статистической физике: $|\psi|^2=|\psi_1+\psi_2+\dots|^2 \neq |\psi_1|^2+|\psi_2|^2+\dots$

Рис. 2. Рассеяние электронов на двух щелях: вместо изображения двух щелей на фотографии видна система интерференционных полос.Рис. 2. Рассеяние электронов на двух щелях: вместо изображения двух щелей на фотографии видна система интерференционных полос.Этот постулат – принцип суперпозиции состояний – один из важнейших в системе понятий квантовой механики; он имеет много наблюдаемых следствий. Одно из них, а именно прохождение электрона через две близко расположенные щели, обсуждается чаще других (рис. 2).

Пучок электронов падает слева, проходит сквозь щели в перегородке и затем регистрируется на экране (или фотопластинке) справа. Если поочерёдно закрывать каждую из щелей, то на экране справа мы увидим изображение открытой щели. Но если открыть обе щели одновременно, то вместо двух щелей мы увидим систему интерференционных полос, интенсивность которых описывается выражением: $|\psi|^2=|\psi_1+\psi_2|^2=(\psi_1^*+\psi_2^*)(\psi_1+\psi_2)=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+(\psi_1^*\psi_2+\psi_1\psi_2^*)=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+2|\psi_1||\psi_2|\cos(\phi_1-\phi_2)$. Последний член в этой сумме представляет интерференцию двух волн вероятности, пришедших в данную точку экрана из разных щелей в перегородке, и зависит от разности фаз волновых функций $\Delta\phi=\phi_1-\phi_2$. В случае равных амплитуд $|\psi_1|=|\psi_2|$: $|\psi|^2=4|\psi_1|^2\sin^2 \frac{\Delta \phi}{2}$, т. е. интенсивность изображения щелей в разных точках экрана меняется от 0 до $4|\psi_1|^2$ – в соответствии с изменением разности фаз $\Delta \phi$ от 0 до $\pi/2$. В частности, при этом может оказаться, что при двух открытых щелях на месте изображения одиночной щели мы не обнаружим никакого сигнала, что с корпускулярной точки зрения абсурдно.

Существенно, что эта картина явления не зависит от интенсивности пучка электронов, т. е. это не результат их взаимодействия между собой. Интерференционная картина возникает даже в пределе, когда электроны проходят через щели в перегородке поодиночке, т. е. каждый электрон интерферирует сам с собой. Такое невозможно для частицы, но вполне естественно для волны, например при её отражении или дифракции на препятствии, размеры которого сравнимы с её длиной. В этом опыте дуализм волна – частица проявляется в том, что один и тот же электрон регистрируется как частица, но распространяется как волна особой природы: это волна вероятности обнаружить электрон в какой-либо точке пространства. В такой картине процесса рассеяния вопрос «Через какую из щелей прошёл электрон-частица?» теряет смысл, поскольку соответствующая ему волна вероятности проходит через обе щели сразу.

Другой пример, иллюстрирующий вероятностный характер явлений квантовой механики, – прохождение света через полупрозрачную пластинку. По определению, коэффициент отражения света равен отношению числа фотонов, отражённых от пластинки, к числу падающих. Однако это есть не результат усреднения большого числа событий, а характеристика, изначально присущая каждому фотону.

Принцип суперпозиции и концепция вероятности позволили осуществить непротиворечивый синтез понятий «волна» и «частица»: каждое из квантовых событий и его регистрация дискретны, но их распределение диктуется законом распространения непрерывных волн вероятности.

Туннельный эффект и резонансное рассеяние

Туннельный эффект – едва ли не самое известное явление квантовой физики. Он обусловлен волновыми свойствами квантовых объектов и только в рамках квантовой механики получил адекватное объяснение. Пример туннельного эффекта – распад ядра радия на ядро радона и $\alpha$-частицу: ${Ra-> Rn + \alpha}$.

На рисунке 3 приведена схема потенциала $\alpha$-распада $V(r)$: $\alpha$-частица колеблется с частотой $v$ в «потенциальной яме» ядра с зарядом $Z_0$, а покинув её, движется в отталкивающем кулоновском потенциале $2Ze^2/r$, где $Z=Z_0-2$. Рис. 3. Схема туннельного эффекта при альфа-распаде ядра с зарядом 𝑍₀.Рис. 3. Схема туннельного эффекта при альфа-распаде ядра с зарядом 𝑍₀.В классической механике частица не может покинуть потенциальную яму, если её энергия $E$ меньше, чем высота потенциального барьера $V_{макс}$. В квантовой механике вследствие соотношения неопределённостей частица с конечной вероятностью $W$ проникает в подбарьерную область $r_0 \lt r \lt r_1$ и может «просочиться» из области $r \lt r_0$ в область $r \gt r_1$ аналогично тому, как свет проникает в область геометрической тени на расстояния, сравнимые с длиной световой волны. Используя уравнение Шрёдингера, можно вычислить коэффициент $D$ прохождения $\alpha$-частицы через барьер, который в квазиклассическом приближении равен: $D \approx \exp \left\{-\displaystyle\int^{r1}_{r_0} \sqrt {2m(V(r)-E)}dr \right\} \approx \exp \left\{- \frac{4 \pi Ze^2}{\hbar v}\right \}$. Со временем число ядер радия $N(t)$ убывает по закону: $N(t)=N_0 \exp\{-t/\tau\}$, где $\tau$ – среднее время жизни ядра, $N_0$ – начальное число ядер при $t=0$. Вероятность $\alpha$-распада $W=vD$ связана с временем жизни соотношением $W=1/\tau$, откуда следует закон Гейгера – Неттола: $\ln\tau=\frac{4\pi Ze^2}{\hbar v}+ \text{const}$, где $v$ – скорость $\alpha$-частицы, $Z$ – заряд образовавшегося ядра. Экспериментально эта зависимость была обнаружена ещё в 1909 г., но только в 1928 г. Г. А. Гамов (и независимо английский физик Р. Гёрни и американский физик Э. Кондон) впервые объяснил её на языке квантовой механики. Тем самым было показано, что квантовая механика описывает не только процессы излучения и другие явления атомной физики, но также явления ядерной физики.

В атомной физике туннельный эффект объясняет явление автоэлектронной эмиссии. В однородном электрическом поле напряжённостью $\boldsymbol E$ кулоновский потенциал $V(r)=-e^2/r$ притяжения между ядром и электроном искажается: $V(r)=e^2/r-e \boldsymbol E r$, уровни энергии атома $E_{nlm}$ при этом смещаются, что приводит к изменению частот $\nu_{nk}$ переходов между ними (эффект Штарка). Кроме того, качественно этот потенциал становится подобным потенциалу $\alpha$-распада, вследствие чего возникает конечная вероятность туннелирования электрона через потенциальный барьер (Р. Оппенгеймер, 1928). При достижении критических значений $\boldsymbol E$ барьер понижается настолько, что электрон покидает атом (т. н. лавинная ионизация).

Альфа-распад есть частный случай распада квазистационарного состояния, который тесно связан с понятием квантовомеханического резонанса и позволяет понять дополнительные аспекты нестационарных процессов в квантовой механике. Из уравнения Шрёдингера следует зависимость его решений от времени: $\psi(x,t)=\exp \left\{ -\frac{i}{\hbar}Et \right\}\psi(x)$, где $E$ – собственное значение гамильтониана $\hat H$, которое для эрмитовых операторов квантовой механики действительно, а соответствующая ему наблюдаемая (полная энергия $E$) не зависит от времени. Однако энергия нестационарных систем от времени зависит, и этот факт можно формально учесть, если энергию такой системы представить в комплексном виде: $E=E_0-iГ/2$. В этом случае зависимость волновой функции от времени имеет вид $\psi(x,t)=\exp \left\{- \frac{i}{\hbar} \left(E_0-i \frac{Г}{2}\right )t \right\}\psi(x)$, а вероятность обнаружить соответствующее состояние убывает по экспоненциальному закону: $|\psi(x,t)|^2 \sim \exp \left \{- \frac{Г}{\hbar}t \right \}=\exp \left \{- \frac{t}{\tau} \right \}$, который совпадает по форме с законом $\alpha$-распада с постоянной распада $\tau= \hbar/Г$.

В обратном процессе, например при столкновении ядер дейтерия и трития, в результате которого образуются гелий и нейтрон (реакция термоядерного синтеза), используется понятие сечения реакции $\sigma$, которое определяется как мера вероятности реакции при единичном потоке сталкивающихся частиц.

Для классических частиц сечение рассеяния на шарике радиусом $r_0$ совпадает с его геометрическим сечением и равно $\sigma=\pi r^2_0$. В квантовой механике оно может быть представлено через фазы рассеяния $\delta_l(k)$: $\sigma(E)=\frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l(k)$, где $k=p/\hbar=\sqrt{2mE}/\hbar$ – волновое число, $l$ – орбитальный момент системы. В пределе очень малых энергий столкновения $[k \to 0, l=0 \quad\text {и} \quad \delta_0(k) \approx kr_0]$ сечение квантового рассеяния в 4 раза превышает геометрическое сечение шарика. (Этот эффект – одно из следствий волновой природы квантовых явлений.) В окрестности резонанса при $E \approx E_0$ фаза рассеяния ведёт себя как $\delta_0(k) \approx \text{arctg} Г/2(E-E_0) \xrightarrow[E \to E_0]{} \pi/2$, а сечение рассеяния равно $\sigma(E)\approx 4 \pi \bar \lambda^2W(E)(2l+1)$, где $\bar\lambda=1/k$, $W(E)$ – функция Брейта – Вигнера: $W(E)= \frac{Г^2}{4} \left[(E-E_0)^2+ \frac{Г^2}{4} \right]^{-1}$.

При малых энергиях рассеяния $l_0 \approx 0$, а длина волны де Бройля $\bar\lambda$ значительно больше размеров ядер, поэтому при $E=E_0$ резонансные сечения ядер $\sigma_{рез} \approx 4 \pi \bar\lambda^2_0$ могут в тысячи и миллионы раз превышать их геометрические сечения $\pi r^2_0$. В ядерной физике именно от этих сечений зависит работа ядерного и термоядерного реакторов. В атомной физике это явление впервые наблюдали Дж. Франк и Г. Герц (1913) в опытах по резонансному поглощению электронов атомами ртути. В противоположном случае ($\delta_0=0$) сечение рассеяния аномально мало (эффект Рамзауэра, 1921).

Функция $W(E)$ известна в оптике как лоренцевский профиль линии излучения и имеет вид типичной резонансной кривой с максимумом при $E=E_0$, а ширина резонанса $Г=2\Delta E=2(E-E_0)$ определяется из соотношения $W(E_0 \pm \Delta E)=W(E_0)/2$. Функция  носит универсальный характер и описывает как распад квазистационарного состояния, так и резонансную зависимость сечения рассеяния от энергии столкновения $E$, а в явлениях излучения определяет естественную ширину $Γ$ спектральной линии, которая связана с временем жизни $\tau$ излучателя соотношением $\tau=\hbar/Г$. Это соотношение определяет также время жизни элементарных частиц.

Из определения $\tau=\hbar/Г$ с учётом равенства $Г=2\Delta E$ следует соотношение неопределённостей для энергии и времени: $\Delta E \cdot \Delta t \geq\hbar/2$, где $\Delta t \geq \tau$. По форме оно аналогично соотношению $\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2$, однако онтологический статус этого неравенства другой, поскольку в квантовой механике время $t$ не является динамической переменной. Поэтому соотношение $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2$ не следует непосредственно из основных постулатов стационарной квантовой механики и, строго говоря, имеет смысл только для систем, энергия которых меняется во времени. Его физический смысл состоит в том, что за время $\Delta t$ энергия системы не может быть измерена точнее, чем величина $\Delta E$, определяемая соотношением $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2$. Стационарное состояние ($\Delta E \to 0$) существует бесконечно долго ($\Delta t \to \infty$).

Спин, тождественность частиц и обменное взаимодействие

Понятие «спин» утвердилось в физике трудами В. Паули, нидерландского физика Р. Кронига, С. Гаудсмита и Дж. Уленбека (1924–27), хотя экспериментальные свидетельства о его существовании были получены задолго до создания квантовой механики в опытах А. Эйнштейна и В. Й. де Хааза (1915), а также О. Штерна и немецкого физика В. Герлаха (1922). Спин (собственный механический момент частицы) для электрона равен $S=\hbar/2$. Это такая же важная характеристика квантовой частицы, как и заряд и масса, которая, однако, не имеет классических аналогов.

Оператор спина $\hat S=\hbar \hat\sigma/2$, где $\hat\sigma=(\hat\sigma_x, \hat\sigma_y,\hat\sigma_z)$ – двумерные матрицы Паули, определён в пространстве двухкомпонентных собственных функций $u=(u_+, u_-)$ оператора $\hat S_z$ проекции спина на ось $z$: $\hat\sigma_zu=\sigma u, \sigma=\pm 1/2$. Собственный магнитный момент $\boldsymbol \mu$ частицы с массой $m$ и спином $S$ равен $\boldsymbol \mu=2 \mu_0 \boldsymbol S$, где $\mu_0=e \hbar/2mc$ – магнетон Бора. Операторы $\hat S^2$ и $\hat S_z$ коммутируют с набором $\hat H_0$, $\hat L^2$ и $\hat L_z$ операторов атома водорода, и вместе они формируют гамильтониан уравнения Паули (1927), решения которого нумеруются набором $i=(nlm\sigma)$ квантовых чисел собственных значений совокупности коммутирующих операторов $\hat H_0$, $\hat L^2$, $\hat L_z$, $\hat S^2$, $\hat S_z$. Эти решения описывают самые тонкие особенности наблюдаемых спектров атомов, в частности расщепление спектральных линий в магнитном поле (нормальный и аномальный эффект Зеемана), а также их мультиплетную структуру в результате взаимодействия спина электрона с орбитальным моментом атома (тонкая структура) и спином ядра (сверхтонкая структура).

В 1924 г., ещё до создания квантовой механики, В. Паули сформулировал принцип запрета: в атоме не может быть двух электронов с одним и тем же набором квантовых чисел $i=(nlm\sigma)$. Этот принцип позволил понять структуру периодической системы химических элементов и объяснить периодичность изменения их химических свойств при монотонном увеличении заряда их ядер.

Принцип запрета есть частный случай более общего принципа, который устанавливает связь между спином частицы и симметрией её волновой функции. В зависимости от значения спина все элементарные частицы разделяются на два класса: фермионы – частицы с полуцелым спином (электрон, протон, $\mu$-мезон и т. д.) и бозоны – частицы с нулевым или целым спином (фотон, $\pi$-мезон, $K$-мезон и т. д.). В 1940 г. Паули доказал общую теорему о связи спина со статистикой, из которой следует, что волновые функции любой системы фермионов обладают отрицательной чётностью (меняют знак при их попарной перестановке), а чётность волновой функции системы бозонов всегда положительна. В соответствии с этим существуют два типа распределений частиц по энергиям: распределение Ферми – Дирака и распределение Бозе – Эйнштейна, частным случаем которого является распределение Планка для системы фотонов.

Одно из следствий принципа Паули – существование т. н. обменного взаимодействия, которое проявляется уже в системе двух электронов. В частности, именно это взаимодействие обеспечивает ковалентную химическую связь атомов в молекулах Н₂, N₂, О₂ и т. п. Обменное взаимодействие – исключительно квантовый эффект, аналога такого взаимодействия в классической физике нет. Его специфика объясняется тем, что плотность вероятности волновой функции системы двух электронов $|\psi(r_1,r_2)^2|$ содержит не только члены $|\psi_n(r_1)|^2|\psi_m(r_2)|^2$, где $n$ и $m$ – квантовые состояния электронов обоих атомов, но также «обменные члены» $\psi_n^*(r_1)\psi_m^*(r_1)\psi_n(r_2)\psi_m(r_2)$, возникающие как следствие принципа суперпозиции, который позволяет каждому электрону находиться одновременно в различных квантовых состояниях $n$ и $m$ обоих атомов. Кроме того, в силу принципа Паули, спиновая часть волновой функции молекулы должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов, т. е. химическая связь атомов в молекуле осуществляется парой электронов с противоположно направленными спинами. Волновая функция сложных молекул может быть представлена как суперпозиция волновых функций, соответствующих различным возможным конфигурациям молекулы (теория резонанса, Л. Полинг, 1931–1933).

Развитые в квантовой механике методы расчёта (метод Хартри – Фока, метод молекулярных орбиталей и др.) позволяют вычислить на современных компьютерах все характеристики устойчивых конфигураций сложных молекул: порядок заполнения электронных оболочек в атоме, равновесные расстояния между атомами в молекулах, энергию и направление химических связей, расположение атомов в пространстве, а также построить потенциальные поверхности, которые определяют направление химических реакций. Такой подход позволяет также вычислить потенциалы межатомных и межмолекулярных взаимодействий, в частности силы Ван дер Ваальса, оценить прочность водородных связей и др. Тем самым проблема химической связи сводится к задаче расчёта квантовых характеристик системы частиц с кулоновским взаимодействием, и с этой точки зрения структурную химию можно рассматривать как один из разделов квантовой механики.

Обменное взаимодействие существенно зависит от вида потенциального взаимодействия между частицами. В частности, в некоторых металлах именно благодаря ему более устойчивым является состояние пар электронов с параллельными спинами, что объясняет явление ферромагнетизма.

Приложения квантовой механики

Квантовая механика – теоретический базис квантовой физики. Она позволила понять строение электронных оболочек атомов и закономерности в их спектрах излучения, структуру ядер и законы их радиоактивного распада, происхождение химических элементов и эволюцию звёзд, включая взрывы новых и сверхновых звёзд, а также источник энергии Солнца. Квантовая механика объяснила смысл периодической системы элементов, природу химической связи и строение кристаллов, теплоёмкость и магнитные свойства веществ, явления сверхпроводимости и сверхтекучести и др. Квантовая механика – физическая основа многочисленных технических приложений: спектрального анализа, лазера, транзистора и компьютера, ядерного реактора и атомной бомбы и т. д.

Свойства металлов, диэлектриков, полупроводников и других веществ в рамках квантовой механики также получают естественное объяснение. В кристаллах атомы совершают около положений равновесия малые колебания с частотой $\omega$, которым сопоставляются кванты колебаний кристаллической решётки и соответствующие им квазичастицы – фононы с энергией $E=\hbar \omega$. Теплоёмкость кристалла в значительной степени определяется теплоёмкостью газа его фононов, а его теплопроводность можно трактовать как теплопроводность фононного газа. В металлах электроны проводимости представляют собой газ фермионов, а их рассеяние на фононах является основной причиной электрического сопротивления проводников, а также объясняет подобие тепловых и электрических свойств металлов (см. Закон Видемана – Франца). В магнитоупорядоченных структурах возникают квазичастицы – магноны, которым соответствуют спиновые волны, в квантовых жидкостях возникают кванты вращательного возбуждения – ротоны, а магнитные свойства веществ определяются спинами электронов и ядер (см. Магнетизм). Взаимодействие спинов электронов и ядер с магнитным полем – основа практических приложений явлений электронного парамагнитного и ядерного магнитного резонансов, в частности в медицинских томографах.

Упорядоченная структура кристаллов порождает дополнительную симметрию гамильтониана по отношению к сдвигу $x \to x+a$, где $a$ – период кристаллической решётки. Учёт периодической структуры квантовой системы приводит к расщеплению её энергетического спектра на разрешённые и запрещённые зоны. Такая структура уровней энергии лежит в основе работы транзисторов и всей базирующейся на них электроники (телевизор, компьютер, сотовый телефон и др.). В начале 21 в. достигнуты существенные успехи в создании кристаллов с заданными свойствами и структурой энергетических зон (сверхрешётки, фотонные кристаллы и гетероструктуры: квантовые точки, квантовые нити, нанотрубки и др.).

При понижении температуры некоторые вещества переходят в состояние квантовой жидкости, энергия которой при температуре $T \to 0$ приближается к энергии нулевых колебаний системы. В некоторых металлах при низких температурах образуются куперовские пары – системы из двух электронов с противоположными спинами и импульсами. При этом электронный газ фермионов трансформируется в газ бозонов, что влечёт за собой бозе-конденсацию, которая объясняет явление сверхпроводимости.

При низких температурах длина волны де Бройля тепловых движений атомов становится сравнимой с межатомными расстояниями и возникает корреляция фаз волновых функций множества частиц, что приводит к макроскопическим квантовым эффектам (эффект Джозефсона, квантование магнитного потока, дробный квантовый эффект Холла, андреевское отражение).

На основе квантовых явлений созданы наиболее точные квантовые эталоны различных физических величин: частоты (гелий – неоновый лазер), электрического напряжения (эффект Джозефсона), сопротивления (квантовый эффект Холла) и т. д., а также приборы для различных прецизионных измерений: сквиды, квантовые часы, квантовый гироскоп и т. д.

Квантовая механика возникла как теория для объяснения специфических явлений атомной физики (её вначале так и называли: атомная динамика), но постепенно стало ясно, что квантовая механика образует также основу всей субатомной физики и все её основные понятия применимы для описания явлений физики ядра и элементарных частиц. Первоначальная квантовая механика была нерелятивистской, т. е. описывала движение систем со скоростями много меньшими скорости света. Взаимодействие частиц в этой теории по-прежнему описывалось в классических терминах. В 1928 г. П. Дирак нашёл релятивистское уравнение квантовой механики (уравнение Дирака), которое при сохранении всех её понятий учитывало требования теории относительности. Кроме того, был развит формализм вторичного квантования, который описывает рождение и уничтожение частиц, в частности рождение и поглощение фотонов в процессах излучения. На этой основе возникла квантовая электродинамика, которая позволила с большой точностью рассчитывать все свойства систем с электромагнитным взаимодействием. В дальнейшем она развилась в квантовую теорию поля, объединяющую в едином формализме частицы и поля, посредством которых они взаимодействуют.

Для описания элементарных частиц и их взаимодействий используются все основные понятия квантовой механики: остаётся справедливым дуализм волна – частица, сохраняется язык операторов и квантовых чисел, вероятностная трактовка наблюдаемых явлений и т. д. В частности, для объяснения взаимопревращения трёх типов нейтрино: $\nu_e$, $\nu_\mu$ и $\nu_\tau$ (осцилляции нейтрино), а также нейтральных $K$-мезонов используется принцип суперпозиции состояний.

Интерпретация квантовой механики

Справедливость уравнений и заключений квантовой механики многократно подтверждена многочисленными опытами. Система её понятий, созданная трудами Н. Бора, его учеников и последователей, известная как «копенгагенская интерпретация», является ныне общепринятой, хотя ряд создателей квантовой механики (М. Планк, А. Эйнштейн, Э. Шрёдингер и др.) до конца жизни остались в убеждении, что квантовая механика – незавершённая теория. Специфическая трудность восприятия квантовой механики обусловлена, в частности, тем обстоятельством, что бóльшая часть её основных понятий (волна, частица, наблюдение и т. д.) взяты из классической физики. В квантовой механике их смысл и область применимости ограничены в силу конечности кванта действия $h$, а это, в свою очередь, потребовало ревизии устоявшихся положений философии познания.

Прежде всего в квантовой механике изменился смысл понятия «наблюдение». В классической физике предполагали, что возмущения изучаемой системы, вызванные процессом измерения, могут быть корректно учтены, после чего можно восстановить исходное состояние системы, независимое от средств наблюдения. В квантовой механике соотношение неопределённостей ставит на этом пути принципиальный предел, который никак не связан с искусством экспериментатора и тонкостью используемых методов наблюдения. Квант действия $h$ определяет границы квантовой механики, подобно скорости света в теории электромагнитных явлений или абсолютному нулю температур в термодинамике.

Причину неприятия соотношения неопределённостей и способ преодоления трудностей восприятия его логических следствий предложил Н. Бор в концепции дополнительности. Согласно Бору, для полного и адекватного описания квантовых явлений необходима пара дополнительных понятий и соответствующая им пара наблюдаемых. Для измерения этих наблюдаемых необходимы два разных типа приборов с несовместимыми свойствами. Например, для точного измерения координаты нужен стабильный, массивный прибор, а для измерения импульса, наоборот, лёгкий и чувствительный. Оба эти прибора несовместимы, но они дополнительны в том смысле, что обе величины, измеряемые ими, равно необходимы для полной характеристики квантового объекта или явления. Бор объяснил, что «явление» и «наблюдение» – дополнительные понятия и не могут быть определены порознь: процесс наблюдения уже есть некое явление, а без наблюдения явление есть «вещь в себе». В действительности мы всегда имеем дело не с явлением самим по себе, а с результатом наблюдения явления, и результат этот зависит в том числе от выбора типа прибора, используемого для измерения характеристик квантового объекта. Результаты таких наблюдений квантовая механика объясняет и предсказывает без всякого произвола.

Важное отличие квантовых уравнений от классических состоит также в том, что волновая функция квантовой системы сама не наблюдаема, а все величины, вычисленные с её помощью, имеют вероятностный смысл. Кроме того, понятие вероятности в квантовой механике в корне отличается от привычного понимания вероятности как меры нашего незнания деталей процессов. Вероятность в квантовой механике – это внутреннее свойство индивидуального квантового явления, присущее ему изначально и независимо от измерений, а не способ представления результатов измерений. В соответствии с этим принцип суперпозиции в квантовой механике относится не к вероятностям, а к амплитудам вероятности. Кроме того, в силу вероятностного характера событий суперпозиция квантовых состояний может включать в себя состояния, несовместимые с классической точки зрения, например состояния отражённого и прошедшего фотонов на границе полупрозрачного экрана или альтернативные состояния электрона, проходящего через любую из щелей в знаменитом интерференционном опыте.

Неприятие вероятностной трактовки квантовой механики породило массу попыток модифицировать основные положения квантовой механики. Одна из таких попыток – введение в квантовую механику скрытых параметров, которые изменяются в соответствии со строгими законами причинности, а вероятностный характер описания в квантовой механике возникает как результат усреднения по этим параметрам. Доказательство невозможности введения в квантовую механику скрытых параметров без нарушения системы её постулатов было дано Дж. фон Нейманом ещё в 1929 г. Более детальный анализ системы постулатов квантовой механики был предпринят Дж. Беллом в 1965 г. Экспериментальная проверка т. н. неравенств Белла (1972) ещё раз подтвердила общепринятую схему квантовой механики.

Ныне квантовая механика представляет собой законченную теорию, которая всегда даёт правильные предсказания в границах её применимости. Все известные попытки её модификации (их известно около 10) не изменили её структуры, но положили начало новым отраслям наук о квантовых явлениях: квантовой электродинамике, квантовой теории поля, теории электрослабого взаимодействия, квантовой хромодинамике, квантовой теории гравитации, теории суперструн и др.

Квантовая механика стоит в ряду таких достижений науки, как классическая механика, учение об электричестве, теория относительности и кинетическая теория. Ни одна физическая теория не объяснила такого широкого круга физических явлений природы: из 94 Нобелевских премий по физике, присуждённых в 20 в., только 12 не связаны напрямую с квантовой физикой. Значение квантовой механики во всей системе знаний об окружающей природе выходит далеко за рамки учения о квантовых явлениях: она создала язык общения в современной физике, химии и даже биологии, привела к пересмотру философии науки и теории познания, а её технологические следствия до сих пор определяют направление развития современной цивилизации.