Уравне́ние Па́ули, уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином ¹/₂ (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено В. Паули в 1927 г.

Является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента – спина. Частица со спином ¹/₂ может находиться в двух различных квантовых состояниях с проекциями спина +¹/₂ и –¹/₂ на произвольно выбранное направление, принимаемое обычно за ось $z$. В соответствии с этим волновая функция частицы $ψ(\boldsymbol{r}, t)$ ($\boldsymbol{r}$ – координата частицы, $t$ – время) является двухкомпонентной, что принято записывать в виде матрицы-столбца: $$ψ(\boldsymbol{r}, t)=\begin{pmatrix}ψ_1(\boldsymbol{r}, t)\\ ψ_2(\boldsymbol{r}, t)\end{pmatrix}.$$Такая функция называется спинором. Проекция спина $s_z=+1/2$ соответствует $ψ=ψ_1, ψ_2=0$, проекция спина $s_z=–1/2$ соответствует $ψ=ψ_2, ψ_1= 0$. Во внешнем магнитном поле компоненты волновой функции «перемешиваются», что соответствует изменению направления спина.

В частном случае постоянного и однородного магнитного поля напряжённостью $H$ (направление которого можно принять за ось $z$) уравнение Паули можно представить в виде системы уравнений для функций $ψ_1$ и $ψ_2$: $$Γ_0 ψ_1 - (e \hbar /2mc)Hψ_1=\mathscr{E} ψ_1\, для\,s_z=+1/2,$$$$Γ_0 ψ_2+(е \hbar /2mc)Hψ_2=\mathscr{E} ψ_2\,для\, s_z=–1/2. \tag{*}$$Здесь $Γ_0$ совпадает с гамильтонианом, входящим в уравнение Шрёдингера для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле, $e$ и $m$ – электрический заряд и масса частицы, $c$ – скорость света, $\hbar$ – постоянная Планка, $\mathscr{E}$ – возможные (собственные) значения энергии. Таким образом, энергия электрона зависит от ориентации спина по отношению к магнитному полю. Это можно интерпретировать как наличие у электрона собственного (спинового) магнитного момента $μ=е\hbar/2mc.$ Вторые слагаемые в левой части уравнений (*) соответствуют потенциальной энергии взаимодействия собственного магнитного момента $μ$ с магнитным полем $H$, равной для слабых полей (как и в классической физике) $μ_HH$, где $μ_H$ – проекция магнитного момента на направление поля $\boldsymbol{H}$. Так как спин электрона равен ¹/₂ (в единицах $\hbar$), то отношение спинового магнитного момента к механическому (гиромагнитное отношение) равно $е/mc$, т. е. в 2 раза больше гиромагнитного отношения для орбитального момента.

Уравнение Паули естественным образом вытекает из релятивистского уравнения Дирака, если ограничиться первым приближением по $v/c$ ($v$ – скорость электрона, $v≪c$).