Уравне́ния Ма́ксвелла, основополагающие уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающие закономерности электромагнитных явлений в сплошной среде или вакууме (в пренебрежении квантовыми явлениями). Теория электромагнитного поля была разработана и опубликована Дж. К. Максвеллом в период с 1856 по 1873 гг.; в 1873 г. была издана его итоговая работа «Трактат об электричестве и магнетизме» (Maxwell J. C. A treatise on electricity and magnetism. Oxford, 1873). В уравнениях Максвелла обобщены ранее установленные опытные законы электрических и магнитных явлений, и эти законы объединены с концепцией М. Фарадея об электромагнитном поле, обеспечивающем взаимодействие между удалёнными заряженными телами (т. н. теория близкодействия). В оригинальном изложении Максвелла было сознательно приведено избыточное число уравнений [«чтобы установить все взаимосвязи, о которых мы имеем ясное представление» (Maxwell J. C. A treatise on electricity and magnetism. Vol. 2. Oxford, 1873. P. 234)]; при этом Максвелл использовал математический аппарат кватернионов Гамильтона.

Электродинамика Максвелла оказалась исторически первой релятивистской теорией, она сохранила свою форму и после создания теории относительности. Именно анализ уравнений Максвелла и исследования способов применения этих уравнений к движущимся средам показали необходимость перестройки классических физических представлений о пространстве и времени и привели к созданию частной (специальной) теории относительности.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Современную форму уравнениям Максвелла, с использованием векторного исчисления, придали Г. Р. Герц и О. Хевисайд (развивавший одновременно с Дж. У. Гиббсом векторную алгебру и векторный анализ). Уравнения Максвелла связывают векторные полевые величины (являющиеся функциями координат и времени) с источниками электромагнитного поля – распределёнными в пространстве и изменяющимися во времени зарядами и токами. В дифференциальной форме уравнения Максвелла имеют вид (в системе СИ):

$\displaystyle \text{rot} \boldsymbol{E} = -\frac{ \partial \boldsymbol{B} }{ \partial t} \qquad (1) \\ \displaystyle \text{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j} + \frac{ \partial \boldsymbol{D} }{ \partial t} \qquad (2) \\ \text{div} \boldsymbol{D} = \rho \qquad (3) \\ \text{div} \boldsymbol{B} =0 \qquad (4)$где $\boldsymbol{E}$ – напряжённость электрического поля, $\boldsymbol{B}$ – магнитная индукция, $\boldsymbol{H}$ – напряжённость магнитного поля, $\boldsymbol{D}$ – электрическая индукция, $\boldsymbol{j}$ – плотность электрического тока, $\rho$ – объёмная плотность электрического заряда. Действие дифференциальных операторов rot и div на векторы электромагнитного поля может быть выражено через векторное и скалярное произведения векторного оператора Гамильтона $\boldsymbol {\nabla}$ (набла) и соответствующего полевого вектора; в декартовой системе координат оператор Гамильтона имеет вид:

$\displaystyle \boldsymbol{ \nabla } = \boldsymbol{e} _x \frac{ \partial }{ \partial x} + \boldsymbol{e}_y \frac{ \partial }{ \partial y} + \boldsymbol{e}_z \frac{ \partial }{ \partial z}\;,$где $\boldsymbol{e}_x$, $\boldsymbol{e} _y$ и $\boldsymbol{e} _z$ – единичные векторы соответствующих координатных осей. Для произвольной векторной функции $\boldsymbol{f} (x,y,z) = \boldsymbol{e} _x \cdot f _x(x,y,z)+ \boldsymbol{e} _y \cdot f_y(x,y,z)+ \boldsymbol{e} _z \cdot f_z(x,y,z)$ с помощью векторного оператора Гамильтона получаем:

$\text{rot} \boldsymbol{f} =[ \boldsymbol{ \nabla } f]=\bigg| \frac{\begin{array}{c}\boldsymbol{e} _x\\ \partial\end{array}}{\begin{array}{c}\partial x\\ f_x\end{array}}\frac{\begin{array}{c}\boldsymbol{e} _y\\ \partial\end{array}}{\begin{array}{c}\partial y\\ f_y\end{array}}\frac{\begin{array}{c}\boldsymbol{e} _z\\ \partial\end{array}}{\begin{array}{c}\partial z\\ f_z\end{array}} \bigg|=\displaystyle \boldsymbol{e} _x( \frac{ \partial f_z}{ \partial y} - \frac{ \partial f_y}{ \partial z} )+ \boldsymbol{e} _y( \frac{ \partial f_x}{ \partial z} - \frac{ \partial fZ}{ \partial x} )+ \boldsymbol{e} _z( \frac{ \partial f_z}{ \partial x} - \frac{ \partial f_x}{ \partial y} )\;, \\ \displaystyle \text{div} {f} = \boldsymbol{ \nabla } f = \frac{ \partial f_x}{ \partial x} +\frac{ \partial f_y}{ \partial y}+\frac{ \partial f_z}{ \partial z}\;.$

Материальные уравнения (уравнения связи)

Для того чтобы уравнения Максвелла образовали математически полную систему, они должны быть дополнены физическими уравнениями связи между полевыми векторами $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{B}$ (достаточными для описания электромагнитного поля в вакууме) и полевыми векторами $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{H}$, зависящими от электрических и магнитных свойств материальной среды, где рассматривается электромагнитное поле, а также уравнениями связи плотности тока $\boldsymbol{j}$, протекающего в материальной среде, с электромагнитным полем. В общем случае эти уравнения являются сложными интегральными соотношениями, учитывающими, что искомые полевые векторы в данной точке пространства и в данный момент времени могут зависеть от электромагнитного поля во всём пространстве и во все предшествующие моменты времени с учётом запаздывания, вызванного конечной скоростью распространения электромагнитного поля (пространственная и временнáя дисперсии).

В макроскопической электродинамике материальные уравнения (уравнения связи) в виде $\boldsymbol{D} = \boldsymbol{D}( \boldsymbol{E}, \boldsymbol{H} ),$ $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}( \boldsymbol{E}, \boldsymbol{H} )$ и $\boldsymbol{j} = ( \boldsymbol{E}, \boldsymbol{H} )$ определяются экспериментально или выводятся на основе каких-либо модельных представлений, и в наиболее распространённом виде записываются:

$\boldsymbol{D} = \varepsilon _0 \varepsilon \boldsymbol{E}\;, \qquad \boldsymbol{B} = \mu _0 \mu \boldsymbol{H}\;, \qquad \boldsymbol{j} = \sigma \boldsymbol{E} + \boldsymbol{j} _{стор}\;,$где $ε_0=1/μ_0c^2$ – электрическая постоянная, $μ_0 \simeq 4π·10^{–7}$ Ньютон/А² – магнитная постоянная, $c$ – скорость распространения электромагнитных волн (скорость света) в вакууме и $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость, $\mu$ – магнитная проницаемость, $\sigma$ – электрическая проводимость материальной среды, $\boldsymbol{j} _{стор}$ – вектор плотности электрического тока (потока заряженных частиц), вызванного неэлектрическими (сторонними) причинами.

Материальные коэффициенты $\varepsilon$, $\mu$ и $\sigma$ различны для разных материальных сред и для конкретной среды могут быть константами или функциями координат и времени (линейные среды) или же дополнительно зависеть от величин напряжённостей $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ (нелинейные среды). Для изотропных материальных сред материальные коэффициенты являются скалярами, для анизотропных (например, кристаллических) – тензорными величинами. Для электромагнитного поля в вакууме: $\varepsilon = \mu =1$, $\sigma =0$. Микроскопический смысл материальных коэффициентов и полевых векторов $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{H}$, учитывающих электромагнитные свойства конкретной материальной среды, выявляется при усреднении уравнений Лоренца – Максвелла, рассматривающих материальные среды как совокупность движущихся микроскопических заряженных частиц.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Применяя теорему Грина и формулу Остроградского – Гаусса к уравнениям Максвелла в дифференциальной форме (1)–(4), можно получить уравнения Максвелла в интегральной форме:

$\displaystyle \oint\limits_L \boldsymbol E \boldsymbol {dl} =-\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_S \boldsymbol B \boldsymbol {dS}\;, \qquad (5) \\ \displaystyle \oint\limits_L \boldsymbol H \boldsymbol {dl}=\int\limits_S \left( \boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\right)\boldsymbol {dS}\;, \qquad(6) \\ \oint\limits_S \boldsymbol D \boldsymbol {dS}=\int\limits_V ρdV\;, \qquad(7) \\ \oint\limits_S \boldsymbol B \boldsymbol {dS}=0\;, \qquad (8)$здесь в уравнениях (5) и (6) $S$ – поверхность произвольной формы, ограниченная замкнутым контуром $l$, $\boldsymbol{dl}$ – вектор элементарной части контура, направленный по направлению его обхода в процессе интегрирования, $\boldsymbol{dS}$ – вектор элементарной площадки поверхности $S$, численно равный площади площадки и направленный перпендикулярно её поверхности в направлении, согласованном с направлением обхода правилом винта. В уравнениях (7) и (8) $S$ – замкнутая поверхность, охватывающая объём $V$; $\boldsymbol{dS}$ – вектор элементарной площадки направленный перпендикулярно поверхности наружу от охватываемого объёма.

Физический смысл уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла в интегральной форме имеют непосредственный физический смысл. Уравнение (5) обобщает закон электромагнитной индукции Фарадея, связывающий скорость изменения магнитного потока (потока вектора магнитной индукции $\boldsymbol{B}$), сцепленного с некоторым контуром, с эдс индукции, наведённой в этом контуре. В отличие от опытов М. Фарадея, где контур представлял собой металлический проводник, по которому протекал регистрируемый индукционный ток, Максвелл предположил, что эдс индукции (т. е. электрическое поле с ненулевой циркуляцией по произвольному замкнутому контуру $l$) будет возникать и при изменении магнитного потока в вакууме или иной непроводящей среде.

Уравнение (6) является обобщением закона Био – Савара о возбуждении магнитного поля электрическим током. Анализируя прохождение переменного тока по цепи с конденсатором, Максвелл предположил, что для замкнутости электрического тока, кроме тока проводимости, обусловленного движением зарядов по проводнику, должен существовать дополнительный ток (названный им током смещения), плотность которого равна $\displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{D}} {\partial t}$ и который тоже создаёт магнитное поле, как и обычный электрический ток проводимости.

Уравнение (7) (теорема Гаусса) выводится с помощью закона Кулона, справедливого только для неподвижных зарядов и электрических полей, не зависящих от времени. Физический смысл уравнения (7) заключается в том, что источником таких электрических полей являются электрические заряды.

Уравнение (8) аналогично уравнению (7) и является математическим выражением экспериментально обосновываемого утверждения, что источником магнитного поля являются только электрические токи (проводимости и смещения), а магнитные заряды (аналогичные электрическим зарядам – источникам полей в теореме Гаусса) в природе отсутствуют. Предсказания некоторых физических теорий о существовании отдельных магнитных зарядов (магнитных монополей) пока не получили экспериментального подтверждения.

В соответствии с физическим смыслом уравнений (1) и (2) переменное во времени магнитное поле вызывает возникновение переменного электрического поля, а переменное электрическое поле – возникновение переменного магнитного поля. Таким образом, переменные электрические и магнитные поля могут поддерживать друг друга, образуя самостоятельный физический объект – электромагнитную волну, существующую уже без первичных источников электрического и магнитного полей (т. е. движущихся зарядов).

Из физического смысла уравнений (5) и (6) следует, что даже в отсутствие обычных источников электрического и магнитного полей (т. е. при $\rho = 0,$ $\boldsymbol j = 0)$ переменное во времени магнитное поле создаёт переменное электрическое поле, а переменное электрическое поле создаёт переменное магнитное поле. Таким образом, переменные электрические и магнитные поля могут поддерживать друг друга, образуя самостоятельный физический объект – электромагнитную волну, которая может самостоятельно существовать без первичных источников электрического и магнитного полей (т. е. в отсутствие движущихся зарядов).

Из своих уравнений Максвелл вывел волновое уравнение, которому удовлетворяет электромагнитная волна, и установил, что электромагнитная волна распространяется в вакууме со скоростью, численно равной электродинамической постоянной, входящей в использованную при выводе волнового уравнения абсолютную гауссову систему единиц. В 1856 г. В. Э. Вебер и Р. Кольрауш экспериментально определили, что отношение величины заряда конденсатора, выраженного в электростатических единицах СГСЭ, к величине этого же заряда, выраженного в магнитных единицах СГСМ, равно электродинамической постоянной; и установили, что электродинамическая постоянная численно равна скорости света в вакууме. Это позволило Максвеллу предположить, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Экспериментальное подтверждение существования электромагнитных волн было сделано в 1888 г. Г. Герцем, который предложил удачную конструкцию генератора электромагнитных колебаний (вибратор Герца) и метод обнаружения электромагнитных волн с помощью резонанса (резонатор Герца). Герц также экспериментально подтвердил, что скорость электромагнитных волн равна скорости света.

Максвелл также установил, что электромагнитное поле, описываемое уравнениями Максвелла, обладает энергией и импульсом. Наличие импульса у электромагнитной волны и, следовательно, изменение импульса при поглощении или отражении волны приводит к возникновению давления электромагнитной волны на поверхность, поглощающую или отражающую электромагнитную волну. Давление, теоретически предсказанное и количественно рассчитанное Максвеллом, в 1899 г. было экспериментально обнаружено и измерено выдающимся российским физиком-экспериментатором П. Н. Лебедевым в опытах по измерению давления света, что полностью подтвердило гипотезу Максвелла об электромагнитном характере световых волн.

Значение электродинамики Максвелла

Релятивистский характер уравнений Максвелла позволяет записать их в релятивистски ковариантной (одинаковой во всех инерциальных системах отсчёта) тензорной форме, откуда следуют формулы преобразования полевых векторов $\boldsymbol{E} ,$ $\boldsymbol{B},$ $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{H}$, а также формулы преобразования вектора плотности тока $\boldsymbol j$ и плотности заряда $\rho$ при переходах между неподвижной и движущимися инерциальными системами отсчёта.

Уравнения Максвелла послужили теоретической основой для создания и развития радиосвязи, телевидения, радиолокации, электроники, электротехники и других направлений современной науки и техники.