Перестано́вочные соотноше́ния (коммутационные соотношения), алгебраические соотношения, устанавливающие правила перестановки между собой двух или более величин. Простейшие перестановочные соотношения билинейны относительно двух величин $A$ и $B$ и имеют одну из двух форм:

$$[A, B]_{–}=AB-BA=C, \tag1$$$$[A, B]_{+}=AB+BA=D. \tag2$$Соотношение (1) называется коммутационным соотношением, соотношение (2) – антикоммутационным. Левые части называются соответственно коммутатором и антикоммутатором величин $A$ и $B$. Если правые части соотношений (1) или (2) обращаются в 0, то величины $A$ и $B$ называются соответственно коммутирующими или антикоммутирующими.

Эти соотношения играют важнейшую роль в квантовой механике. Состояние системы в квантовой механике описывается волновой функцией (или вектором состояния), а физическим величинам ставятся в соответствие операторы этих величин. В классической теории произведение физических величин не зависит от порядка сомножителей – они коммутируют. В квантовой теории это не так: для объяснения экспериментально наблюдаемой невозможности сколь угодно точного одновременного измерения некоторых пар физических величин приходится полагать, что им отвечают некоммутирующие операторы. Степень некоммутативности операторов квантовой механики фиксируется постулатом квантования. Для систем, имеющих механический аналог (например, систем точечных частиц), для декартовых компонент операторов импульса $\hat p_i$ и координаты $\hat x_i$ каждой частицы постулируется перестановочное соотношение Гейзенберга (алгебра Гейзенберга):

$$[\hat p_i,\hat x_k]=\hat p_i \hat x_k-\hat x_k \hat p_i = \frac{\hbar}{i}δ_{ik},\\ i,k=1,2,3, \\ δ_{ik} = \begin{cases} 1\,при\,i=k \\[2ex] 0\,при\,i \neq k. \end{cases} \tag3$$Здесь $\hbar$ – постоянная Планка. Перестановочные соотношения квантовой механики подсказаны гамильтоновой формой классической механики частиц. В ней уравнениями движения являются уравнения Гамильтона, физические величины считаются функциями координат и импульсов частиц, а для любой пары таких функций $f(x, p)$ и $g(x, p)$ С. Д. Пуассоном в 1809 г. введено выражение

$$\{f,g\}=\sum_k\left( \frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial g}{\partial x_k}-\frac{\partial g}{\partial p_k}\frac{\partial f}{\partial x_k}\right), \tag4$$называемое скобкой Пуассона.

Перестановочное соотношение (3) находится в прямой аналогии со скобкой Пуассона соответствующих классических компонент импульса и координаты: $\{ p_i, x_k \}=δ_{ik}.$ Две классические величины $p$, $q$, для которых скобка Пуассона $\{p, q \}=1,$ называются канонически сопряжёнными, а квантовые перестановочные соотношения для отвечающих им операторов – каноническими.

Некоммутативность пары операторов тесно связана с квантовомеханическим принципом неопределённости. Если две величины можно было бы измерить одновременно с любой точностью, то оказалось бы измеримым и их произведение. Зависимость произведения операторов от порядка сомножителей говорит о неизмеримости произведения. Именно из перестановочных соотношений (3) следует соотношение неопределённостей для одноимённых компонент импульса и координаты частицы.

Из (3) следуют все остальные перестановочные соотношения для операторов, отвечающих физическим величинам для частицы. Например, для компонент оператора момента $\hat M_i$ частицы эти соотношения имеют вид

$$\hat M_1 \hat M_2-\hat M_2 \hat M_1=i\hbar \hat M_3,\\ \hat M_2 \hat M_3 - \hat M_3 \hat M_2=i\hbar \hat M_1,\\ \hat M_3 \hat M_1 - \hat M_1 \hat M_3 =i\hbar \hat M_2.\tag5$$Алгебре Гейзенберга (3) эквивалентны перестановочные соотношения для операторов рождения $\hat a^{+},$ и уничтожения $\hat a^{-}$ частиц, определяемых для каждой степени свободы как линейные комбинации операторов декартовой координаты и импульса:

$$\hat a^{\pm}=(\hat p \pm i\hat x)/\sqrt{2i\hbar}.\tag6$$Перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения частиц следуют из соотношения (3) и имеют вид

$$[\hat a^{-},\hat a^{+}]_{-}=\hat a^{-}\hat a^{+}-\hat a^{+}\hat a^{-}=1.\tag7$$Для систем, не имеющих классического аналога (частицы с ненулевым спином, поля́ в квантовой теории поля и т. п.), эти соотношения задаются именно для операторов рождения и уничтожения частиц и выполняют роль постулата квантования; они называются каноническими. При этом для целого спина канонические перестановочные соотношения имеют вид (6), а для полуцелого спина коммутатор в левой части заменяется на антикоммутатор:

$$[\hat a^{-},\hat a^{+}]_{+}=\hat a^{-}\hat a^{+}+\hat a^{+}\hat a^{-}=1.\tag8$$Такой вид соотношений обеспечивает выполнение принципа Паули.

В квантовой механике систем тождественных частиц и в квантовой теории поля операторы всех физических величин выражаются через операторы рождения и уничтожения частиц (конкретную форму помогает установить принцип соответствия), а перестановочные соотношения между ними следуют из канонических перестановочных соотношений.

Некоммутирующие операторы есть и в классической физике. Например, поворот системы координат можно представить как результат действия на 3 координаты оператора поворота. Но поворот на 90° вокруг оси x с последующим поворотом на 90° вокруг оси y и эти же повороты, проведённые в обратном порядке, приводят к разным результатам.