Ква́нтовая хромодина́мика (КХД), квантовая теория сильного взаимодействия цветных глюонных и кварковых полей, построенная на основе принципа локальной калибровочной инвариантности (калибровочной симметрии) относительно преобразований в трёхмерном комплексном пространстве внутренних симметрий. По современным представлениям, КХД составляет основу описания сильного взаимодействия между адронами и отвечает за силы, связывающие кварки в адроны.

КХД возникла в начале 1970-х гг. в результате синтеза представления о цвете кварков, партонной модели глубоко неупругого взаимодействия и математического аппарата неабелевых калибровочных полей.

Кварковая модель, согласно которой все адроны являются связанными состояниями либо пары кварк – антикварк (мезоны), либо трёх кварков (барионы), хорошо объясняла систематику адронов, т. е. их группировку по свойствам в унитарные и изотопические мультиплеты, расщепление по массам внутри этих мультиплетов, а также некоторые статические свойства адронов (например, отношения величин магнитных моментов). Важный составной элемент этой модели – предположение о существовании дополнительной характеристики кварков – т. н. цвета, введение которого было вызвано необходимостью утроения числа кварков каждого типа (аромата), для того чтобы, не входя в противоречие с принципом Паули, можно было объяснить существование таких барионов, как, например, $\Delta^{++}$, состоящих из трёх $u$-кварков с одинаковым направлением спина. При этом реально наблюдаемые адроны «бесцветны». Отсутствие в природе мезонов с двумя кварками, а также величи́ны вероятности распада $\pi^0$-мезона на два фотона $(\pi^0 \to 2\gamma)$ и сечения аннигиляции электрон-позитронной пары в адроны ($e^+e^- \to$ адроны) однозначно указывали на симметрию относительно преобразований в трёхмерном цветовом пространстве, соответствующую группе симметрий $SU(3)$.

Представление о партонах возникло в результате экспериментально обнаруженного различия в поведении структурных функций глубоко неупругих процессов и формфакторов упругого рассеяния лептонов на адронах, которые оказалось возможным совместить только на основе предположения о существовании внутри протона точечных (слабовзаимодействующих) составляющих адронов – партонов. Дальнейшее экспериментальное изучение жёстких процессов (т. е. процессов с большой передачей импульса), в которых исследовалась структура адрона на малых расстояниях, показало, что заряженные партоны тождественны кваркам и антикваркам. Таким образом, получалось, что, с одной стороны, на расстоянии порядка радиуса адрона (порядка 10^–13 см) кварки должны достаточно сильно взаимодействовать, чтобы образовывать такие прочные системы, как адроны, а с другой – эффективная константа этого взаимодействия должна ослабевать на расстояниях порядка 0,1 радиуса адрона. Рис. 1. Аннигиляция электрон-позитронной пары в две адронные струи в кварковой модели адронов.Рис. 1. Аннигиляция электрон-позитронной пары в две адронные струи в кварковой модели адронов.Ослабление эффективной константы взаимодействия кварков с уменьшением расстояния было позднее названо асимптотической свободой. Возрастание же константы взаимодействия с ростом расстояния давало возможность объяснить явление «невылетания» кварков (конфайнмент), проявляющееся в ненаблюдаемости свободных кварков. Например, в процессе аннигиляции электрона $(e^-)$ и позитрона $(e^+)$ (рис. 1) образуются разлетающиеся кварк $(q)$ и антикварк $(\tilde q)$, рост взаимодействия между которыми приводит к рождению из вакуума пар кварк – антикварк ($\pi$-мезон) и «обесцвечиванию» разлетающихся кварка и антикварка и рождённых кварков и антикварков и превращению их в адроны. В результате вместо $q$ и $\tilde q$ наблюдаются две адронные струи, летящие в противоположные стороны.

Решающим шагом для создания КХД было установление свойства ослабления взаимодействия с уменьшением расстояния для класса калибровочных полей, основанных на неабелевых группах симметрии, к которым относится и группа $SU$ (3).

Основу КХД образуют три цветных состояния кваркового поля Дирака $q^\alpha(x)$ ($x$ – точка пространства-времени, $\alpha=1,2,3$ – цветовой индекс) каждого аромата ($u,d,s,с,b,t$), преобразующихся друг через друга при преобразованиях в цветовом пространстве. Квантами полей являются цветные кварки. По своей структуре КХД аналогична квантовой электродинамике (КЭД), но имеет существенные отличия. В КЭД электрический заряд вследствие калибровочной симметрии порождает электромагнитное поле, а в КХД цветные кварки порождают восемь разновидностей цветовых глюонных полей – векторных калибровочных полей Янга – Миллса. Поскольку глюонные поля, в отличие от электромагнитного, несут цветовой заряд, они сами порождают глюонные поля и взаимодействуют друг с другом. Вследствие этого уравнения для глюонных полей (в отличие от уравнений Максвелла для вакуума) нелинейны. Квантами глюонного поля являются восемь глюонов (аналоги фотона в КЭД), имеющих нулевую массу покоя и спин 1. При испускании и поглощении глюонов кварки (и глюоны) могут менять свой цвет, но сохраняют тип (аромат).

Квантование и диаграммы Фейнмана

Последовательной схемы квантования в КХД пока нет. Обычно используемое квантование кварковых и глюонных полей проводится для свободных, не взаимодействующих полей, и в этом оно формально не отличается от квантования в КЭД. Рис. 2. Вершины диаграмм Фейнмана в квантовой хромодинамике. Сплошные линии изображают кварки, спиральные – глюоны.Рис. 2. Вершины диаграмм Фейнмана в квантовой хромодинамике. Сплошные линии изображают кварки, спиральные – глюоны.Однако такая операция в КХД не вполне законна из-за отсутствия свободных кварков и глюонов. Учёт же взаимодействия проводится с помощью теории возмущений, изображаемой диаграммами Фейнмана, когда каждый кварк или глюон может испустить (или поглотить) глюон, а глюон может испустить (или поглотить) пару глюонов. В КХД, в отличие от КЭД, в диаграммах Фейнмана возможны не только кварк-глюонные вершины (рис. 2, а), но и трёхглюонные (рис. 2, б), и четырёхглюонные (рис. 2, в).

Правила диаграмм Фейнмана позволяют вычислять любые процессы с участием кварков и глюонов. Однако, как и в КЭД, интегралы по импульсам промежуточных (виртуальных) частиц оказываются бесконечными, расходящимися при больших или малых импульсах (УФ- и ИК-расходимости). Чтобы избежать ИК-расходимостей, при расчётах процессов с участием адронов всегда рассматривают кварк-глюонные (партонные) подпроцессы, происходящие на малых расстояниях (меньших размера адронов), т. е. каким-либо образом регуляризованные (например, обрезанные) в области малых импульсов (в КЭД подобные расходимости сокращаются при учёте излучения мягких фотонов). Зависимость сечений подпроцесса от параметра ИК-регуляризации выделяется в виде сомножителей и включается в волновые или структурные функции адронов, рассматриваемые как феноменологические (невычисляемые) элементы схемы.

УФ-расходимости устраняют, применяя стандартные способы регуляризации (обычно обрезание) и перенормировки в квантовой теории поля. Для матричных элементов матрицы перехода все бесконечные множители после перенормировки векторов состояний кварка и глюона собираются в эффективную (токовую) массу кварка $m_f(\mu^2)$ и эффективную константу взаимодействия $g^2_\mu(\mu^2)$, где $\mu^2$ – некоторый параметр (имеющий размерность квадрата импульса), появившийся в результате регуляризации. Характерной чертой перенормировочной процедуры в КХД является зависимость эффективной массы и константы взаимодействия от $\mu^2$. Она связана с тем, что кварки как свободные частицы не наблюдаются.

Ренормализационная группа и асимптотическая свобода

Особую роль в КХД играет ренормализационная группа (ренормгруппа), представляющая собой группу преобразований с изменением значений параметра нормировки и одновременным изменением $g^2_{\mu}$. Это связано с тем, что константа взаимодействия оказывается не очень малой, а члены ряда $[g^2_\mu \text{ln}(Q^2/ \mu^2)]^n$ [где $n=1,2,\dots$ ; $Q^2$ – квадрат характерной передачи четырёхмерного импульса (4-импульса)], возникающие при вычислениях по теории возмущений, – достаточно большими и требуют суммирования, которое удобно выполнять с помощью аппарата ренормгруппы. Инвариантный заряд ренормгруппы $g^2[Q^2, \mu^2, g^2_\mu]$, который не зависит от выбора параметра нормировки $\mu^2$, определяет эффективную константу взаимодействия при квадрате переданного 4-импульса $Q^2$ или на расстоянии порядка $1Q$ (в системе единиц $\hbar=c=1$; здесь $\hbar$ – постоянная Планка, $c$ – скорость света).

Суммирование «старших» членов в инвариантном заряде приводит к эффективному заряду $\alpha_s$:

$$\alpha_s(Q^2)=g^2[Q^2, \mu^2, g^2_\mu]/(4\pi)=12\pi/[11n_c-2n_f)\text{ln}(Q^2/\Lambda^2)], \tag 1$$где $n_c=3$ – число цветов, $n_f$ – число ароматов. В отличие от КЭД ($n_c=0$), где эффективный заряд растёт с ростом $Q^2$, в КХД он уменьшается (если число ароматов $n_f<17$), т. е. с уменьшением расстояния (ростом $Q^2$) эффективное взаимодействие уменьшается (рис. 3), объект становится асимптотически свободным (невзаимодействующим). Рис. 3. Зависимость эффективного заряда от переданного 4-импульса. Результаты разных экспериментов обозначены различными значками.Рис. 3. Зависимость эффективного заряда от переданного 4-импульса. Результаты разных экспериментов обозначены различными значками.Это явление антиэкранировки заряда из-за поляризации вакуума в неабелевых калибровочных теориях поля было обнаружено в 1973 г. Д. Политцером, а также Д. Гроссом и Ф. Вилчеком (Нобелевская премия, 2004) и является важнейшим свойством КХД. Оно позволяет использовать аппарат теории возмущений и рассчитывать характеристики адронных процессов, связанные с взаимодействием кварков и глюонов на малых расстояниях.

Последнее выражение в (1) представляет собой ренорминвариантное, т. е. не зависящее от точки нормировки, выражение для эффективного заряда через фундаментальную постоянную $\Lambda$, имеющую размерность импульса. В этом заключается ещё одна особенность КХД – фундаментальная размерная постоянная появляется в теории, содержащей безразмерную константу взаимодействия. Это явление было названо размерной трансмутацией. Оно связано с тем, что в КХД из-за удержания цвета невозможно создать статические глюонные поля и поэтому нельзя определить отношение заряда к массе. Числовое значение $\Lambda$ в различных схемах регуляризации будет разным; в наиболее распространённой схеме т. н. усечённой размерной регуляризации её экспериментальная величина (в системе $\hbar=c=1$) равна: $\Lambda=210±30$ МэВ. Эффективный заряд при $Q^2=\Lambda^2$ формально становится бесконечным, хотя уже разработаны методы удаления этой бесконечности. Однако гораздо раньше (при $Q \leq 10\Lambda$) приближение старших логарифмов, на основе которого было получено выражение (1), оказывается недостаточным.

Существует предположение, что рост эффективного заряда при увеличении расстояния можно связать с явлением удержания цвета, препятствующим выбиванию кварков и глюонов из адрона, однако какого-либо строгого доказательства этого положения пока нет.

КХД и адронные процессы

Естественной областью применения теории возмущений КХД по эффективному заряду являются жёсткие процессы с участием адронов. Основу такого применения составляют кварк-адронная дуальность и ренормализационная инвариантность амплитуд и сечений физических процессов. Гипотеза кварк-адронной дуальности основана на том, что цветные состояния не наблюдаются, и состоит в том, что любое бесцветное состояние с данными квантовыми числами можно представить либо как суперпозицию адронных состояний, либо как суперпозицию кварк-глюонных состояний с теми же сохраняющимися квантовыми числами. Эта гипотеза присутствует во всех приложениях КХД. Например, полное сечение $\sigma$ аннигиляции электрон-позитронной пары в адроны ($e^+e^- \to$ адроны) зависит только от одной импульсной переменной – квадрата 4-импульса пары $Q^2$ в системе центра масс. Гипотеза кварк-адронной дуальности позволяет приравнять сечение аннигиляции $\sigma$ к сечению процесса $e^+e^- \to$ кварки+глюоны. Обычно это сечение записывают в виде $$\sigma(e^+e^- \to \text{адроны}=\sigma_0R(Q^2/\mu^2, \alpha_s(\mu^2)) \tag 2$$где $\sigma_0=4 \pi \alpha^2/3Q^2$ – сечение аннигиляции пары $e^+e^-$ в пару $\mu^+ \mu^-$, рассчитываемое по КЭД, $\alpha=e^2/4\pi \approx 1/137$ ($e$ – элементарный электрический заряд), $R$ – некоторая безразмерная функция. Согласно ренормализационной инвариантности, эта функция, как и сечение, не зависит от выбора нормировки $\mu^2$. Положив, что $\mu^2=Q^2$, получим

$$R(Q^2/\mu^2, \alpha_s(\mu^2))=R(1, \alpha_s(Q^2)), \tag 3$$где при достаточно больших $Q^2$ благодаря свойству асимптотической свободы можно использовать теорию возмущений по $\alpha_s$.

Вычисления с учётом как аннигиляции пары кварк – антикварк, так и излучения одним из дополнительных глюонов (рис. 4) дают

$$R=\sum e^2_q[1+\alpha_s(Q^2)/\pi+\dots], \tag 4$$где суммирование проводится по всем цветам и ароматам кварков, $e_q$ – заряд кварка в единицах $e$, $\alpha_s(Q^2)$ определяется формулой (1). Таким образом, $R$ с ростом $Q^2$ должно логарифмически приближаться к сумме квадратов зарядов всех кварков всех цветов, то есть к т. н. партонному пределу.

В выражении (4) отброшены не только поправки с более высокими степенями $\alpha_s$, но и степенные поправки типа $(1/Q^2)^n$. Они возникают в тех случаях, когда большой импульс $Q$ распределяется не по всем виртуальным линиям фейнмановских диаграмм равномерно, а «обходит» какие-либо из них (например, глюонную линию на рис. 4). Рис. 4. Диаграмма для сечения (вероятности) процесса аннигиляции электрон-позитронной пары с рождением адронов. Учтены как аннигиляция в пару кварк-антикварк, так и излучение одним из них дополнительного глюона.Рис. 4. Диаграмма для сечения (вероятности) процесса аннигиляции электрон-позитронной пары с рождением адронов. Учтены как аннигиляция в пару кварк-антикварк, так и излучение одним из них дополнительного глюона.Малая величина квадрата виртуального импульса соответствующей линии не позволяет воспользоваться теорией возмущений для вычисления её вклада. Выражения для таких диаграмм оказываются пропорциональны значениям вакуумных средних квадратов глюонных и кварковых полей. Эти значения рассматриваются как феноменологические параметры, т. е. подбираются в каком-либо одном эксперименте, а затем используются в других. Они также могут быть вычислены методами, не использующими теорию возмущений, например методом вычислений на решётке. Для компенсации размерностей, которыми обладают эти параметры, они входят в поправочные слагаемые с множителями Q^–4 и Q^–6. Для учёта наиболее существенной части таких поправок в простейшем случае применяются правила сумм КХД, которые утверждают равенство сечений с участием адрона и сечений с участием кварковых токов с теми же квантовыми числами, усреднённых с некоторым весом по интервалу, включающему данный адрон (по т. н. интервалу дуальности). По порядку величины интервал дуальности представляет собой характерное расстояние между соседними резонансами (резонансными частицами) с одинаковыми квантовыми числами (спином, чётностью, изотопическим спином и др.). Это даёт возможность выразить через вакуумные средние массы и ширины низколежащих резонансов, например протона или $\rho$-мезона.

Характерным свойством сечения аннигиляции, которое позволило непосредственно использовать теорию возмущений, была зависимость лишь от одной большой импульсной переменной $Q^2$. В других высокоэнергетических процессах, кроме группы больших импульсных переменных $Q_1^2,\dots, Q_k^2 \gg m^2 \approx 1$ ГэВ² ($m$ – масса нуклона), имеется, как правило, и группа малых переменных $p^2_1,\dots,p^2_r \approx m^2$ (например, массы начальных и конечных регистрируемых адронов), которые, в отличие от случая аннигиляции, не дают возможности перевести всю зависимость от больших переменных $Q^2$ в эффективный заряд $\alpha_s(Q^2)$.

Эту трудность удаётся преодолеть, например, с помощью т. н. операторного разложения (или т. н. теоремы о факторизации), которое доказано в любом порядке теории возмущений. Для сечений жёстких процессов оно приводит к модифицированной партонной модели, в которой на больших расстояниях рассматриваются функции распределения и фрагментации партонов, а на малых – партонные подпроцессы. В этой модели параметр $\mu^2$ одновременно играет роль параметра нормировки и параметра границы между малыми и большими импульсами (большими и малыми расстояниями).

Вследствие зависимости сечения подпроцесса только от больших переменных $Q^2_i$ и $\mu^2$ (параметр $\mu^2$ также может быть выбран большим, например $\mu^2=Q^2_1$) вычислить его можно с помощью теории возмущений. Разложение сечения в ряд по $\alpha_s$ соответствует учёту упругого рассеяния на точечном партоне и последовательному учёту поправок за счёт неточечности кварка, испускания глюонов, а также рождения кварк-антикварковых пар. Однако сечение процесса не должно зависеть от выбора параметра $\mu^2$, поэтому знание зависимости сечения подпроцесса от $\mu^2$ (из теории возмущений) позволяет найти зависимость от $\mu^2$ функций распределения и фрагментации.

Экспериментальная проверка КХД

КХД предсказывает специфические отклонения от наивной партонной модели, связанные с зависимостью эффективного заряда $\alpha_s$ и функций распределения и фрагментации партонов от большой импульсной переменной. Эти эффекты качественно проявляются во многих экспериментально наблюдаемых жёстких процессах с участием адронов. При этом все они характеризуются практически одной и той же величиной эффективного заряда $\alpha_s$, приведённого к массе $Z$-бозона. Прежде всего это процессы глубоко неупругого рассеяния лептонов на нуклонах, где наблюдается заметное отклонение от скейлинга Бьёркена (см. Масштабная инвариантность), связанное с зависимостью функций распределения от $\mu^2=Q^2.$

Были проведены расчёты ширин адронных и лептонных распадов и расщепления уровней в кваркониях (например, по вычислению разности масс $\Upsilon$- и $\eta_b$-мезонов, состоящих из тяжёлых $b$-кварка и $\tilde b$-антикварка, а также $J/\psi$- и $\eta_c$-мезонов, состоящиx из $c$-кварка и $\tilde c$-антикварка). Эти системы играют для проверки КХД такую же роль, как атом водорода для квантовой механики в период её становления. Для этих систем наблюдается неплохое количественное согласие теоретических расчётов с экспериментом (особенно с учётом глюонных радиационных поправок). Распад тяжёлой $\Upsilon$-частицы в адроны, согласно КХД, идёт через аннигиляцию пары тяжёлых кварка и антикварка $b \tilde b$ в три глюона, которые превращаются затем в три адронные струи. Такие адронные струи с предсказанным угловым распределением действительно наблюдались экспериментально, что служит экспериментальным подтверждением векторного характера глюонов.

Векторный характер глюона отчётливо проявляется и в угловом распределении адронных струй в процессе аннигиляции пары $e^+e^-$ в три струи. Также наблюдается ещё один характерный для КХД процесс – прямое глюон-глюонное взаимодействие (рис. 2). Это сказывается, например, в сравнительно большой величине отношения сечений рождения в протон-протонных столкновениях $K^-$- и $\pi^-$-мезонов с большими поперечными импульсами (при отсутствии глюон-глюонного рассеяния $K^-$-мезоны могли бы рождаться только за счёт т. н. морских кварк-антикварков $s$ и $\tilde u$, количество которых в протоне незначительно).

Во 2-й половине 1970-х гг. в КХД начали развиваться методы вычисления, не связанные с разложением по константе взаимодействия. К ним относится, например, метод инстантонов, основанный на разложении уравнений КХД в малой окрестности классических частицеподобных решений и представляющий собой аналог квазиклассического приближения в квантовой механике. Особенно широко применяются в КХД численные методы, основанные на замене непрерывного пространства-времени на дискретную решётку, функциональных интегралов (представляющих собой наблюдаемые физические величины) – на многократные интегралы, вычисляемые на ЭВМ с помощью метода Монте-Карло. Это пока единственный регулярный метод, позволяющий выйти за рамки теории возмущений. Найденные таким способом параметры многих элементарных частиц (массы, константы распадов, магнитные моменты) в пределах достигнутой точности вычислений ≈30 % (лимитируемой мощностью современных ЭВМ) согласуются с экспериментальными. Однако, по всей вероятности, численным методам в КХД принадлежит большое будущее.

КХД обеспечивает хорошее полуколичественное (а в некоторых случаях и количественное) объяснение характерных особенностей многих высокоэнергетических процессов с участием адронов. Принципиальное значение для её дальнейшей проверки имеют прецизионные эксперименты при максимально высоких энергиях. Однако наиболее острой остаётся проблема удержания цвета в КХД. Каким будет решение этой проблемы – ИК-удержание, обусловленное ростом эффективного заряда при разделении двух цветных объектов и антиэкранировкой цвета за счёт рождения из вакуума кварк-антикварковых пар, превращающих дальнодействующие силы между кварками (из-за обмена безмассовыми глюонами) в короткодействующие ядерные силы между адронами, или перестройка вакуума из-за конденсации ИК глюонных полей – пока неясно. Но каково бы оно ни было, КХД, как и теория электрослабого взаимодействия, представляет собой ступень в направлении создания единой теории поля, объединяющей все взаимодействия элементарных частиц (см. Великое объединение, Суперсимметрия).