Полиади́ческие чи́сла, элементы кольца полиадических чисел, представляющего собой прямое произведение колец $\mathbb{Z}_p$ целых $p$-адических чисел, взятое по всем простым числам $p$.

Другое определение кольца целых полиадических чисел строится следующим образом. На кольце целых чисел можно ввести топологию, считая множество идеалов $(m)$ [$(m)$ обозначает идеал, состоящий из целых чисел, делящихся на число $m$] полной системой окрестностей нуля. Полной системой окрестностей в кольце целых чисел является совокупность множеств вида $a+\left(m\right)$. Операции сложения и умножения непрерывны в этой топологии, и кольцо целых чисел с этой топологией является топологическим кольцом. Введённую топологию можно метризовать, положив

$$\rho\left(x,y\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\theta_m(x,y)}{2^m}\ ,$$где

$$\theta_m\left(x,y\right)= \begin{cases} 0, \ если \ x \equiv y(mod \ m),\\ 1,\ если \ x \not\equiv y(mod \ m). \end{cases}$$Последовательность целых чисел ${\{a_n}\}$ называется фундаментальной, если для любого натурального числа $k$ найдётся такое натуральное число $N$, что для всех $m,n>N$ выполняется сравнение $a_m\equiv a_n(mod\ k!)$. Последовательность целых чисел ${\{b_n}\}$ называется нулевой, если для любого натурального числа $k$ найдётся такое натуральное число $N$, что для всех $m>N$ выполняется сравнение $a_m\equiv0(mod\ k!)$. Фундаментальные последовательности эквивалентны, если их разность является нулевой последовательностью.

Полиадическим числом называется класс эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей целых чисел. Эти числа были введены в рассмотрение Х. Прюфером в 1925 г. (также см. Постников. 1971).

На множестве полиадических чисел вводятся операции сложения и умножения, придающие этому множеству структуру коммутативного кольца с единицей и с делителями нуля.

Эквивалентное определение кольца полиадических чисел – обратный (проективный) предел

$$\lim_{ \overleftarrow{m} } \mathbb{Z} /m! \mathbb{Z} .$$Каноническое представление полиадического числа имеет вид

$$\mathfrak{a}=\sum_{n=0}^{\infty}{a_nn!,\ \ \ a_n\in\left\{0,1,\ldots,n\right\}.}$$Такой ряд сходится в любом поле p-адических чисел $\mathbb{Q}_p$; обозначим его сумму $\mathfrak{a}^{(p)}$.

Как отмечено выше, кольцо полиадических чисел является прямым произведением колец $\mathbb{Z}_p$ целых $p$-адических чисел, взятым по всем простым числам $p$. Часто рассматриваются почти полиадические числа – элементы прямого произведения колец $\mathbb{Z}_p$, взятого по всем, кроме конечного числа, простым числам $p$.

Степенные ряды вида $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nn!z^n}$ интересны с различных точек зрения. Например, ряд Эйлера $\sum_{n=0}^{\infty}{n!{(-z)}^n}$ является асимптотическим разложением интеграла

$$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\frac{w}{z}}}{1+w}dw.$$Элементы классического анализа и теории аналитических функций в полиадической области, теория меры и интеграла, их приложения к задачам вероятностной теории чисел приведены в работах Е. В. Новосёлова (Новосёлов. 1963; Новосёлов. 1964).

Полиадические числа широко применяются в теории абелевых групп (Л. Я. Куликов, А. А. Фомин, А. В. Царёв, Т. А. Тимошенко). Достаточно заметить, что $Z$-адическое пополнение любой абелевой группы $А$, т. е. соответствующий обратный предел, является модулем над кольцом полиадических чисел. Также любая периодическая абелева группа является модулем над кольцом полиадических чисел. Отметим псевдорациональные числа – элементы кольца полиадических чисел, для которых существуют целые числа $\mathcal{a} , \mathcal{b} , \mathcal{b} \neq 0$ такие, что для всех, кроме конечного числа, простых чисел $p$ в кольце $\mathbb{Z}_p$ выполняется равенство$\ b\mathfrak{a}^{(p)}=a.$ Равенство $\sum_{n=0}^{\infty}{n\ \cdot n!=-1}$ даёт пример псевдорационального числа, а также пример глобального соотношения, справедливого во всех полях $p$-адических чисел $\mathbb{Q}_p$. Понятие глобального соотношения было введено в работе Э. Бомбьери (Bombieri. 1981) следующим образом. Рассматриваются формальные степенные ряды $f_i\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_nz^n,\ i=1,\ldots,m\ \ }$с коэффициентами из алгебраического числового поля $\mathbb{K}$ и число $\xi$ из этого поля. Пусть $P\left(x_1,\ldots,x_m\right)$ – нулевой многочлен с коэффициентами из $\mathbb{K}$. Соотношение $P\left(f_1\left(\xi\right),\ldots,f_m\left(\xi\right)\right)=0$ называется глобальным, если оно выполнено во всех полях $\mathbb{K}_{v}$, в которых сходятся все ряды $f_1\left(\xi\right),\ldots,f_m\left(\xi\right)$ и которые являются пополнениями поля $\mathbb{K}$ по метрикам $v$ этого поля, продолжающим $p$-адические метрики поля рациональных чисел $\mathbb{Q} .$

Понятие глобального соотношения и связанные с ним задачи можно развить следующим образом. Поскольку операции сложения и умножения производятся в прямом произведении полей $p$-адических чисел покоординатно, то многочлен с целыми коэффициентами $P\left(\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m\right)$ от элементов $\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m$ этого произведения представляет собой вектор, координата которого в поле $\mathbb{Q}_p$ равна $P\left({\mathfrak{a}_1}^{(p)},\ldots,{\mathfrak{a}_m}^{(p)}\right)$. Это позволяет говорить об алгебраической зависимости этих элементов, если во всех рассматриваемых полях $\mathbb{Q}_p$ для некоторого многочлена выполнено равенство $P\left({\mathfrak{a}_1}^{(p)},\ldots,{\mathfrak{a}_m}^{(p)}\right)=0$, об их алгебраической независимости, если для любого ненулевого многочлена с целыми коэффициентами хотя бы в одном из этих полей $P\left({\mathfrak{a}_1}^{(p)},\ldots,{\mathfrak{a}_m}^{(p)}\right)\neq0$, бесконечной алгебраической независимости, если для любого многочлена неравенство $P\left({\mathfrak{a}_1}^{(p)},\ldots,{\mathfrak{a}_m}^{(p)}\right)\neq0$ выполняется в бесконечном множестве полей $\mathbb{Q}_p$ и о глобальной алгебраической независимости, если это неравенство выполнено для всех многочленов и во всех рассматриваемых полях $\mathbb{Q}_p$. Аналогичные определения, с заменой многочлена линейной формой, можно дать для линейной зависимости и независимости. Используя модификацию метода Зигеля – Шидловского, можно доказать теоремы о бесконечной алгебраической независимости для значений рядов вида $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nn!z^n}$, служащие аналогами основных теорем о значениях $E$-функций (Chirskii. 2019). Эти теоремы применимы к обобщённым гипергеометрическим рядам $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\alpha_1\right)_n\ldots\left(\alpha_r\right)_n}{\left(\beta_1\right)_n\ldots\left(\beta_s\right)_n}z^n,r>s,$ где $\left(\alpha\right)_0=1,\left(\alpha\right)_n=\alpha\left(\alpha+1\right)\ldots\left(\alpha+n-1\right)$, и все параметры ряда – рациональные числа, причём все числа $\beta_i$ отличны от целых отрицательных чисел. В результате получаются утверждения о бесконечной алгебраической независимости значений этих рядов в алгебраических точках и в точках, представляющих собой полиадические числа Лиувилля. В частности, известный ряд Эйлера $\sum_{n=0}^{\infty}{n!\ }$– бесконечно трансцендентное полиадическое число. В случае, когда среди параметров содержатся алгебраические иррациональные числа, для доказательства бесконечной линейной независимости значений этих рядов используются аппроксимации Эрмита – Паде. Их же можно использовать в случае, когда среди параметров имеются глобально трансцендентные полиадические числа Лиувилля (Чирский. 2022).