Термины

Асимптотический ряд

Асимптоти́ческий ряд, a0(x)+a1(x)++an(x)+,a_0(x)+a_1(x)+…+a_n(x)+\ldots,составленный из функций переменной xx таких, что при заданном изменении xx (например, при x0x→0 или при xx→∞) каждый следующий член этого ряда есть относительно предыдущего члена, т. е. an+1(x)=o(an(x)),n=0,1,a_{n+1}(x)=o(a_n(x)), n=0, 1,\ldots .

Такой ряд называется асимптотическим разложением функции a(x)a(x) при xx0x→x_0, если для любого n=0,1,2,n=0, 1, 2, \ldots

a(x)=k=0nak(x)+o(an(x))a(x)=\sum_{k=0}^n a_k(x)+o(a_n(x))при xx0x→x_0. В этом случае пишут a(x)k=0ak(x)\displaystyle a(x)≃\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x). Наряду с символом употребляется также символ .

Примером асимптотического разложения является
f(x)=k=0n1k !f(k)(x0)(xx0)k+o((xx0)n),f(x)=\sum_{k=0}^n \frac 1{k \ !}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n), где f(0)(x)=f(x),f(k)(x)f^{(0)}(x)=f(x), f^{(k)}(x)kk функции f(x)f(x), k=1,2,,nk=1, 2, \ldots, n, которая даёт степенное асимптотическое разложение f(x)k=0n1k !f(k)(x0)(xx0)kf(x)≃\sum_{k=0}^n \frac 1{k \ !}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^kгладкой функции f(x)f(x) при xx0x→x_0.

Асимптотический ряд не обязательно . Например, ряд 11!x+2!x23!x3+1-1!x+2!x^2-3!x^3+\ldots является асимптотическим рядом при x0x→0, но расходится при каждом x0x≠0; ряд с общим членом an=n!tnexpt2a_n=n!t^{-n} \exp t^2 является асимптотическим рядом при t,t→∞, хотя всюду расходится, а его члены суть бесконечно большие при tt→∞. В отличие от случая сходящихся рядов, где рассматривается абсолютная погрешность приближения, в асимптотических разложениях важна относительная погрешность.

Асимптотические ряды, как и сходящиеся ряды, широко используются как в самой математике, так и в её естественно-научных приложениях. Частичная сумма ряда обычно даёт удобное приближение исследуемой функции. Асимптотические ряды и разложения часто возникают при наличии в задаче малого или большого параметра.

Отдельные асимптотические разложения использовались в 18 в. Строгое понятие асимптотического ряда введено (1886) в связи с задачами .

Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2005.
  • Теория приближения функций
  • Ряды