Асимптотический ряд

Асимптоти́ческий ряд, ряд $$a_0(x)+a_1(x)+…+a_n(x)+\ldots,$$составленный из функций переменной $x$ таких, что при заданном изменении $x$ (например, при $x→0$ или при $x→∞$) каждый следующий член этого ряда есть бесконечно малая величина относительно предыдущего члена, т. е. $a_{n+1}(x)=o(a_n(x)), n=0, 1,\ldots$ .

Такой ряд называется асимптотическим разложением функции $a(x)$ при $x→x_0$, если для любого $n=0, 1, 2, \ldots$

$$a(x)=\sum_{k=0}^n a_k(x)+o(a_n(x))$$при $x→x_0$. В этом случае пишут $\displaystyle a(x)≃\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x)$. Наряду с символом $≃$ употребляется также символ $∼$.

Примером асимптотического разложения является формула Тейлора
$$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac 1{k \ !}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n),$$ где $f^{(0)}(x)=f(x), f^{(k)}(x)$ – $k$-я производная функции $f(x)$, $k=1, 2, \ldots, n$, которая даёт степенное асимптотическое разложение $$f(x)≃\sum_{k=0}^n \frac 1{k \ !}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k$$гладкой функции $f(x)$ при $x→x_0$.

Асимптотический ряд не обязательно сходится. Например, ряд $1-1!x+2!x^2-3!x^3+\ldots$ является асимптотическим рядом при $x→0$, но расходится при каждом $x≠0$; ряд с общим членом $a_n=n!t^{-n} \exp t^2$ является асимптотическим рядом при $t→∞,$ хотя всюду расходится, а его члены суть бесконечно большие при $t→∞$. В отличие от случая сходящихся рядов, где рассматривается абсолютная погрешность приближения, в асимптотических разложениях важна относительная погрешность.

Асимптотические ряды, как и сходящиеся ряды, широко используются как в самой математике, так и в её естественно-научных приложениях. Частичная сумма ряда обычно даёт удобное приближение исследуемой функции. Асимптотические ряды и разложения часто возникают при наличии в задаче малого или большого параметра.

Отдельные асимптотические разложения использовались в 18 в. Строгое понятие асимптотического ряда введено А. Пуанкаре (1886) в связи с задачами небесной механики.