Асимптотический ряд
Асимптоти́ческий ряд, ряд составленный из функций переменной таких, что при заданном изменении (например, при или при ) каждый следующий член этого ряда есть бесконечно малая величина относительно предыдущего члена, т. е. .
Такой ряд называется асимптотическим разложением функции при , если для любого
при . В этом случае пишут . Наряду с символом употребляется также символ .
Примером асимптотического разложения является формула Тейлора
где – -я производная функции , , которая даёт степенное асимптотическое разложение гладкой функции при .
Асимптотический ряд не обязательно сходится. Например, ряд является асимптотическим рядом при , но расходится при каждом ; ряд с общим членом является асимптотическим рядом при хотя всюду расходится, а его члены суть бесконечно большие при . В отличие от случая сходящихся рядов, где рассматривается абсолютная погрешность приближения, в асимптотических разложениях важна относительная погрешность.
Асимптотические ряды, как и сходящиеся ряды, широко используются как в самой математике, так и в её естественно-научных приложениях. Частичная сумма ряда обычно даёт удобное приближение исследуемой функции. Асимптотические ряды и разложения часто возникают при наличии в задаче малого или большого параметра.
Отдельные асимптотические разложения использовались в 18 в. Строгое понятие асимптотического ряда введено А. Пуанкаре (1886) в связи с задачами небесной механики.