Лине́йная незави́симость, одно из основных понятий линейной алгебры, которое означает, что не существует нетривиальной линейной комбинации элементов множества, равной нулевому элементу.

Пусть $V$ – векторное пространство над полем вещественных чисел. Векторы $\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n\in V$ называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация $v=\alpha_1\vec v_1 + \alpha_2\vec v_2 +\ldots + \alpha_n\vec v_n$, равная нулевому вектору. Если только тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, система векторов называется линейно независимой (т. е. линейная комбинация равна нулевому вектору, только если все коэффициенты при $\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n$ равны нулю).

Эквивалентное определение: система векторов линейно зависима, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. Если ни один из векторов нельзя представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, векторы линейно независимы.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов.

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

2. Если система векторов содержит два равных или два противоположных вектора, то она линейно зависима.

3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

4. Если система векторов линейно независима, то и любая её подсистема также линейно независима.

5. В конечномерном линейном пространстве $\mathbb{R}^n$ система любых $n + 1$ векторов линейно зависима.

6. Система ненулевых ортогональных векторов линейно независима.

Геометрический смысл линейной зависимости.

1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

3. Любые четыре вектора в трёхмерном пространстве линейно зависимы.

Понятие линейной независимости векторов тесно связано с понятиями базиса в подпространстве и ранга матрицы. В частности, определитель квадратной матрицы не равен нулю тогда и только тогда, когда строки (столбцы) матрицы линейно независимы.