Гипергеометрический ряд

Гипергеометри́ческий ряд (ряд Гаусса), ряд вида

$$\displaystyle  F(\alpha, \beta ; \gamma ; z)=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha+1) \ldots(\alpha+n-1) \beta(\beta+1) \ldots(\beta+n-1)}{n ! \gamma(\gamma+1) \ldots(\gamma+n-1)} z^{n}.\tag{*}$$Гипергеометрический ряд имеет смысл, если $\gamma$ не равно нулю или целому отрицательному числу; он сходится при $|z|<1$. Если, кроме того, $\operatorname{Re}(\gamma-\alpha-\beta)>0$, то гипергеометрический ряд сходится и при $z=1$. В этом случае справедлива формула Гаусса

$\displaystyle F(\alpha,\beta;\gamma;1)=\frac{\Gamma(\gamma) \Gamma(\gamma-\alpha-\beta)}{\Gamma(\gamma-\alpha) \Gamma(\gamma-\beta)},$где $\Gamma(z)$ – гамма-функция. Аналитическая функция, определяемая с помощью гипергеометрического ряда, называется гипергеометрической функцией.

Обобщённым гипергеометрическим рядом называется ряд вида

$\displaystyle {}_pF_q\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{p} ; \gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{q} ; z\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \frac{\left(\alpha_{1}\right)_{n}\left(\alpha_{2}\right)_{n} \cdots\left(\alpha_{p}\right)_{n}}{\left(\gamma_{1}\right)_{n}\left(\gamma_{2}\right)_{n} \cdots\left(\gamma_{q}\right)_{n}} z^{n},$где $(x)_{n} \equiv x(x+1) \ldots(x+n-1)$. В этих обозначениях ряд $(*)$ записывается как ${}_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;z)$.