Гипергеометри́ческий ряд (ряд Гаусса), ряд вида
F(α,β;γ;z)=1+n=1∑∞n!γ(γ+1)…(γ+n−1)α(α+1)…(α+n−1)β(β+1)…(β+n−1)zn.(*)Гипергеометрический ряд имеет смысл, если γ не равно нулю или целому отрицательному числу; он сходится при ∣z∣<1. Если, кроме того, Re(γ−α−β)>0, то гипергеометрический ряд сходится и при z=1. В этом случае справедлива формула Гаусса
F(α,β;γ;1)=Γ(γ−α)Γ(γ−β)Γ(γ)Γ(γ−α−β),где Γ(z) – гамма-функция. Аналитическая функция, определяемая с помощью гипергеометрического ряда, называется гипергеометрической функцией.
Обобщённым гипергеометрическим рядом называется ряд вида
pFq(α1,α2,…,αp;γ1,γ2,…,γq;z)=n=0∑∞n!1(γ1)n(γ2)n⋯(γq)n(α1)n(α2)n⋯(αp)nzn,где (x)n≡x(x+1)…(x+n−1). В этих обозначениях ряд (∗) записывается как 2F1(α,β;γ;z).
Чистова Э. А.. Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.