Термины

Гипергеометрический ряд

Гипергеометри́ческий ряд (ряд Гаусса), вида

 F(α,β;γ;z)=1+n=1α(α+1)(α+n1)β(β+1)(β+n1)n!γ(γ+1)(γ+n1)zn.(*)\displaystyle  F(\alpha, \beta ; \gamma ; z)=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha+1) \ldots(\alpha+n-1) \beta(\beta+1) \ldots(\beta+n-1)}{n ! \gamma(\gamma+1) \ldots(\gamma+n-1)} z^{n}.\tag{*}Гипергеометрический ряд имеет смысл, если γ\gamma не равно нулю или целому отрицательному числу; он сходится при z<1|z|<1. Если, кроме того, Re(γαβ)>0\operatorname{Re}(\gamma-\alpha-\beta)>0, то гипергеометрический ряд сходится и при z=1z=1. В этом случае справедлива формула Гаусса

F(α,β;γ;1)=Γ(γ)Γ(γαβ)Γ(γα)Γ(γβ),\displaystyle F(\alpha,\beta;\gamma;1)=\frac{\Gamma(\gamma) \Gamma(\gamma-\alpha-\beta)}{\Gamma(\gamma-\alpha) \Gamma(\gamma-\beta)},где Γ(z)\Gamma(z). , определяемая с помощью гипергеометрического ряда, называется .

Обобщённым гипергеометрическим рядом называется ряд вида

pFq(α1,α2,,αp;γ1,γ2,,γq;z)=n=01n!(α1)n(α2)n(αp)n(γ1)n(γ2)n(γq)nzn,\displaystyle {}_pF_q\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{p} ; \gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{q} ; z\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \frac{\left(\alpha_{1}\right)_{n}\left(\alpha_{2}\right)_{n} \cdots\left(\alpha_{p}\right)_{n}}{\left(\gamma_{1}\right)_{n}\left(\gamma_{2}\right)_{n} \cdots\left(\gamma_{q}\right)_{n}} z^{n},где (x)nx(x+1)(x+n1)(x)_{n} \equiv x(x+1) \ldots(x+n-1). В этих обозначениях ряд ()(*) записывается как 2F1(α,β;γ;z){}_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;z).

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Гамма-функция