Термины

Нуль

Нуль (от лат. nullus – никакой), , обладающее тем свойством, что любое число при с ним не меняется, обозначается символом 00. любого числа aa на нуль равно нулю: a0=0a=0a·0=0·a=0. Если произведение двух или чисел равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю: из ab=0ab=0 следует, что или a=0a=0, или b=0b=0. на нуль невозможно.

В коммутативной аддитивно записываемой нулём называется элемент 0, для которого a+0=0+a=aa+0=0+a=a, где aa – любой элемент группы. В нуль определяется аналогично; там для нуля всегда выполняется a0=0a=0a·0=0·a=0. Однако, если произведение двух элементов кольца равно нулю, то из этого не следует, что один из сомножителей равен нулю; если ab=0ab=0, причём a0a≠0 и b0b≠0, то элементы aa и bb называются .

Нуль – точка x0x_0, в которой заданная функция f(x)f(x) обращается в нуль, т. е. f(x0)=0f(x_0)=0. Например, для функции 3x23x-2 нулём является точка x0=2/3x_0=2/3. Некоторые функции не имеют нуля, например, exe^x, у других, например, у , бесконечное множество нулей. Нули функции f(x)f(x) – то же самое, что корни уравнения f(x)=0.f(x)=0. Число x0x_0 называется mm-кратным нулём (нулём порядка mm, mm – натуральное число) PP, если x0mm-кратный корень уравнения P(x0)=0P(x_0)=0, т. е. многочлен P(x)=(xx0)mQ(x)P(x)=(x-x_0)^mQ(x), где многочлен Q(x0)0Q(x_0)≠0. При m=1m=1 корень называется простым. Нули функции одного переменного f(x)f(x)являются точками пересечения её с осью абсцисс или точками касания графика и этой оси. Например, функция f(x)=x34x2+4xf(x)=x^3- 4x^2+ 4x (рис.) имеет два нуля – простой (в точке x1=0x_1=0) и двукратный (в точке x2=2x_2=2); функция f(x)=sinxf(x)=\sin x имеет счётное множество простых нулей – в точках 0,±π,±2π,0,\pm π ,\pm 2π ,\ldots

Нули f(z)f(z) одного комплексного переменного zz являются изолированными точками. Для каждого нуля z0z_0 существует натуральное число mm – порядок нуля – такое, что f(z0)=0f(z_0)=0, f(z0)=0,f' (z_0)=0, \ldots, f(m1)(z0)=0f^{(m-1)}(z_0)=0, но f(m)(z0)0f^{(m)}(z_0)≠0; например, для нуля функции 1cosz1-\cos z порядок m=2m=2. Напротив, аналитические функцииf(z1,,zn) f(z_1,\ldots,z_n) многих комплексных переменных не могут иметь изолированных нулей.

Редакция математических наук
  • Аналитические функции
  • Многочлен