Нуль
Нуль (от лат. nullus – никакой), число, обладающее тем свойством, что любое число при сложении с ним не меняется, обозначается символом . Произведение любого числа на нуль равно нулю: . Если произведение двух действительных или комплексных чисел равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю: из следует, что или , или . Деление на нуль невозможно.
В коммутативной аддитивно записываемой группе нулём называется элемент 0, для которого , где – любой элемент группы. В кольце нуль определяется аналогично; там для нуля всегда выполняется равенство . Однако, если произведение двух элементов кольца равно нулю, то из этого не следует, что один из сомножителей равен нулю; если , причём и , то элементы и называются делителями нуля.
Нуль функции – точка , в которой заданная функция обращается в нуль, т. е. . Например, для функции нулём является точка . Некоторые функции не имеют нуля, например, , у других, например, у тригонометрических, бесконечное множество нулей. Нули функции – то же самое, что корни уравнения Число называется -кратным нулём (нулём порядка , – натуральное число) многочлена , если x0 – -кратный корень уравнения , т. е. многочлен , где многочлен . При корень называется простым. Нули функции одного переменного являются точками пересечения её графика с осью абсцисс или точками касания графика и этой оси. Например, функция (рис.) имеет два нуля – простой (в точке ) и двукратный (в точке ); функция имеет счётное множество простых нулей – в точках
Нули аналитической функции одного комплексного переменного являются изолированными точками. Для каждого нуля существует натуральное число – порядок нуля – такое, что , , , но ; например, для нуля функции порядок . Напротив, аналитические функции многих комплексных переменных не могут иметь изолированных нулей.