Прямо́е произведе́ние, одна из основных общематематических конструкций, идея которой принадлежит Декарту; поэтому прямое произведение называется также декартовым произведением. Прямым произведением, или просто произведением, двух непустых множеств $X$ и $Y$ называется множество $X \times Y$, состоящее из всех упорядоченных пар вида $(x, y)$, где $x \in X$, $y \in Y$:$$X \times Y=\{(x, y) \mid x \in X,\, y \in Y\} .$$Если одно из множеств $X$ или $Y$ пусто, то произведение пусто. Множество $X\times Y$ можно отождествить с множеством функций, определённых на двухэлементном множестве $\{1, 2\}$ и принимающих значения в множестве $X$ при значении аргумента, равном $1$, и в множестве $Y$ при значении аргумента, равном $2$. Это отождествление позволяет распространить определение прямого произведения на случай любого количества множителей. Пусть $I$ – некоторое множество индексов, и пусть $X_i$ – произвольное семейство множеств, заиндексированных элементами множества $I$. Прямым произведением семейства множеств $X_{i}$, $i \in I$, называется множество таких функций $f: I \rightarrow X$, где $X=\bigcup_{i \in I} X_{i}$, что $f(i) \in X_{i}$ для каждого $i \in I$. Обычно прямое произведение обозначается $\prod_{i \in I} X_{i}$; для конечного множества индексов $I=\{1, \ldots, n\}$ используются также обозначения $\prod_{i=1}^{n} X_{i}$ или $X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n}$. Если $I$ состоит из одного элемента $1$, то $\prod_{i=1} X_{1}=X_{1}$. Иногда прямое произведение конечного числа множителей определяется индуктивно:$$\begin{gathered} \prod_{i=1} X_{1}=X_{1},\quad \prod_{i=1}^{2} X_{i}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1} \in X_{1}, x_{2} \in X_{2}\right\}, \\ \prod_{i=1}^{n} X_{i}=\prod_{i=1}^{n-1} X_{k} \times X_{n}. \end{gathered}$$Значение конструкции прямого произведения определяется прежде всего тем, что в нём естественно вводится дополнительная структура, если все множители являются однотипными математическими структурами. Например, пусть $X_{i}$, $i \in I$, – однотипные алгебраические системы, т. е. множества с общей сигнатурой конечноместных предикатов и операций. Тогда произведение $X=\prod_{i \in I} X_{i}$ превращается в алгебраическую систему с той же сигнатурой: для функций $f_{1}, \ldots, f_{n}: I \rightarrow X$ и $n$-арной операции $\omega$ действие функции $f_{1} \ldots f_{n} \omega$ на элемент $i$ определяется равенством$$f_{1} \ldots f_{n} \omega(i)=f_{1}(i) \ldots f_{n}(i) \omega;$$значение предиката $P(f_1, \ldots, f_n)$ истинно, если для любого $i\in I$ истинно значение $P(f_1(i),\ldots,f_n(i))$. При этом выполнение во всех $X_i$ определённых тождеств влечёт за собой их выполнение в произведении. Поэтому прямые произведения полугрупп, групп, колец, векторных пространств и т. п. снова являются полугруппами, группами, кольцами, векторными пространствами соответственно.

Для любого множителя прямого произведения $X=\prod_{i \in I} X_{i}$ существует естественная проекция $p_i:X\rightarrow X_i$, определяемая равенством $f p_{i}=f(i)$. Множество $X$ и семейство проекций $p_{i}$, $i \in I$, обладают следующим универсальным свойством: для любого семейства отображений $g_{i}: Y \rightarrow X_{i}$ существует такое однозначно определённое отображение $h: Y \rightarrow X$, что $g_{i}=h p_{i}$ для каждого $i \in I$. Это свойство сохраняется в случае, когда все $X_{i}$ – однотипные алгебраические системы, и позволяет определить подходящую топологическую структуру прямого произведения топологических пространств. Сформулированное свойство лежит в основе определения произведения объектов категории.

Многие задачи математики связаны с описанием математических объектов, неразложимых в прямое произведение, и с выяснением условий, при которых множители произведения определены однозначно с точностью до изоморфизма. Классическими результатами здесь являются теорема о строении конечно порождённых модулей над кольцом главных идеалов и теорема Ремака – Шмидта о центральном изоморфизме прямых разложений групп с главным рядом.

Прямое произведение иногда называют полным прямым произведением в отличие от дискретного прямого произведения (или прямой суммы), которое определяется в тех случаях, когда дополнительная структура в множителях позволяет выделить одноэлементные подструктуры (например, единичные подгруппы, нулевые подпространства и т. п.). Как правило, прямое произведение конечного числа множителей совпадает с дискретным произведением.