Число
Число́, важнейшее понятие математики, которое используется для количественного описания различных объектов и процессов. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования.
Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. На низшей ступени развития первобытного общества понятие отвлечённого числа отсутствовало. В сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «3 человека», «3 озера» и т. д. Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов.
С развитием письменности возможности записи чисел значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи. Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения чисел, так же как и сохранившиеся до наших дней римские цифры, ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначений для чисел. Крупным шагом вперёд было изобретение в Индии позиционной системы счисления, позволяющей записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр.
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т. е. потенциальной возможности его бесконечного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда встречается в трудах Архимеда и Евклида. С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами – сложение, вычитание, умножение и деление. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности. Начинается развитие науки о числах – арифметики. В самом процессе развития арифметики появляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в выяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных чисел и т. д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду чисел продолжается поныне и составляет раздел математики, носящий название теории чисел.
Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количества предметов, выполняют ещё другую функцию – характеризуют порядок предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (1-й, 2-й и т. д.) тесно переплетается с понятием количественного числа (1, 2 и т. д.).
Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в математике не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа – с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 1870-х гг. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, 2 совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественной характеристики бесконечных множеств. Другое обоснование понятия натурального числа было предложено Дж. Пеано.
Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральным числам дробных чисел. Введение в употребление дробных чисел связано с потребностью производить измерения. С развитием арифметики как науки о числах созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном числе как о частном при делении двух натуральных чисел, из которых делимое не делится нацело на делитель.
Дальнейшие расширения понятия числа обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.
Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения отрицательных чисел возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (в задачах, связанных с движением, – передвижение в направлении, противоположном выбранному, в задачах, связанных с вычислением прибыли, – долг и т. д.). В Индии ещё в 6–11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как и ныне. В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь с времени Р. Декарта (17 в.), давшего геометрическое истолкование отрицательных чисел как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившей рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительным и отрицательным корнями уравнения.
Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел являются снова рациональными числами. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка с выбранной единицей масштаба) с любой степенью точности. Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей.
Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т. н. иррациональных чисел.
В 17 в., в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики, разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов. Отчётливое определение понятия действительного числа даётся И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике» (опубликованной в 1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного числа, рационального или иррационального.
В дальнейшем, в 1870-х гг., понятие действительного числа было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.
По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на 2 класса так, что каждая точка 1-го класса лежит левее каждой точки 2-го класса («разорвать» прямую на 2 части), то либо в 1-м классе существует самая правая точка, либо во 2-м классе – самая левая точка, т. е. точка, по которой произошёл «разрыв» прямой.
Совокупность всех рациональных чисел свойством непрерывности не обладает. Так будет, например, если в 1-й класс отнести все отрицательные рациональные числа, нуль и все положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, а во второй – все положительные рациональные числа, квадрат которых больше двух. Такое дедекиндово сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального числа: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных чисел сопоставляется иррациональное число, которое считается бо́льшим, чем любое число 1-го класса, и меньшим, чем любое число 2-го класса. Совокупность всех действительных числа (рациональных и иррациональных) уже обладает свойством непрерывности.
Обоснование Г. Кантора понятия действительного числа отличается от обоснования Р. Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности.
Заключительным этапом в развитии понятия числа явилось введение комплексных чисел. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла в 16 в. (итальянские учёные Р. Бомбелли, Дж. Кардано) в связи с открытием алгебраического решения уравнений 3-й и 4-й степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, невыполнимому в области действительных чисел. Но это происходит только в случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящая к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений 3-й степени обнаружилось следующее удивительное обстоятельство. Как раз в том случае, когда все 3 корня уравнения являются действительными числами, по ходу вычислений оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных чисел. Однако комплексные числа и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к законности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «комплексное число». Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, особенно после работ К. Ф. Гаусса. Ещё до Гаусса в работах Л. Эйлера комплексные числа стали играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.
Совокупность всех комплексных чисел обладает, так же как совокупность действительных чисел и совокупность рациональных чисел, свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных чисел обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных чисел. Как установлено К. Вейерштрассом, совокупность всех комплексных чисел не может быть далее расширена за счёт присоединения новых чисел так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных чисел.