Идеа́л (в математике), специального рода подобъект в некоторой алгебраической структуре. Понятие идеала возникло первоначально в теории колец. Название «идеал» ведёт свое происхождение от идеальных чисел.

Для алгебры, кольца или полугруппы $A$ идеал $I$ есть подалгебра, подкольцо или полугруппа, замкнутая относительно умножения на элементы из $A$. При этом идеал $I$ называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из $A$, т. е.

$A I=I ($соответственно $IA=I)$,

где$$A I=\{a b~ \mid~ a \in A,~ b~ \in~ I\}, \quad I A=\{b a~ \mid~ a~ \in~ A,~ b~ \in~ I\}.$$Идеал, являющийся одновременно левым и правым (т. е. выдерживающий любые умножения на элементы из $A$), называется двусторонним. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают. Любому утверждению о левых идеалах отвечает двойственное утверждение о правых идеалах (далее формулировки будут приводиться только в «левом случае»).

Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные делители в группах. Для всякого гомоморфизма $f: A \rightarrow B$ ядром $\mathrm {Кеr} f$ (т. е. множеством элементов, отображающихся $f$ в $0$) служит идеал, и, обратно, всякий идеал – ядро некоторого гомоморфизма. Более того, идеал $I$ однозначно определяет конгруэнцию} $\varkappa$ в $A$ , нулевым классом которой он является, и, следовательно, однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ $A f$ гомоморфизма $f$, ядром которого он служит: $A f$ изоморфно факторкольцу (факторалгебре) $A / \varkappa$, обозначаемому также $A / I$. Аналогичными свойствами относительно гомоморфизмов обладают идеалы мультиоператорных групп. В мультиоператорной $\Omega$-группе $A$ идеал определяется как нормальный делитель её аддитивной группы, удовлетворяющий условию: для всякой $n$-арной операции $\omega$, любых элементов $b \in I$ и $a_1,~ a_2,~ \ldots,~ a_n \in A$ при всяком $i=1,~2,~\ldots,~ n$ должно иметь место включение – $\left(a_1,~ a_2\ldots a_n \omega\right) + a_1~ \ldots~ a_{i-1}\left(b+a_i\right) a_{i+1} \ldots a_n \omega \in I$ (для колец и алгебр это понятие индуцирует понятие двустороннего идеала).

Двусторонние идеалы полугрупп, напротив, не дают описания всех гомоморфных образов данной полугруппы. Если задан гомоморфизм $f$ полугруппы $A$ на полугруппу $B$, то только в случае, когда $B$ – полугруппа с нулём, с гомоморфизмом $f$ естественно связан двусторонний идеал $f^{-1}(0)$, который, однако, не обязан определять однозначно $f$. Тем не менее, если $I$ – идеал в $A$, то среди факторполугрупп полугруппы $A$, имеющих в качестве элемента класс $I$, существует максимальная факторполугруппа $A / I$ (называемая идеальным фактором). Элементами этой полугруппы будут элементы множества $A \backslash I$ и сам идеал $I$, который будет нулём в $A / I$.

Для любого подмножества $X \subset A$ можно определить идеал $I_X$, порождённый $X$, как пересечение всех идеалов, содержащих множество $X$. Множество $X$ называется базисом идеала $I_X$. Разные базисы могут порождать один и тот же идеал. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным.

Пересечение, а в случае полугрупп и объединение, левых (двусторонних) идеалов снова будет левым (двусторонним) идеалом. Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение идеалов не обязано быть идеалом. Пусть $I_1,~ I_2$ – левые или двусторонние идеалы в кольце (алгебре) $A$. Суммой идеалов $I_1$ и $I_2$ называется идеал $I_1+I_2=\left\{a+b \mid a \in I_1, b \in I_2\right\}$, он является минимальным идеалом в $A$, содержащим $I_1$ и $I_2$. Относительно операций пересечения и взятия суммы все (левые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решетку. Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеалы или решетку идеалов (см. в статьях Кольцо главных идеалов, Артиново кольцо, Нётерово кольцо).

Идеал мультипликативной полугруппы кольца может и не быть идеалом кольца. Полугруппа $A$ является группой тогда и только тогда, когда $A$ не содержит (как левых, так и правых) идеалов, отличных от самой $A$. Таким образом, обилие идеалов в полугруппе характеризует отчасти степень отличия данной полугруппы от группы.

Для $k$-алгебры $A$ (алгебры над полем $k$) идеал кольца $A$ может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры $A$. Например, если $A$ есть $k$-алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца $A$ совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы $A$, а множество всех идеалов алгебры $A$ совпадает с множеством всех подпространств векторного $k$-пространства $A$. Однако в случае, когда $A$ – алгебра с единицей, оба эти понятия идеала совпадают. Поэтому многие результаты одинаково формулируются как для колец, так и для алгебр.

Кольцо, не имеющее двусторонних идеалов, называется простым. Кольцо без собственных односторонних идеалов является телом. Левые идеалы кольца $A$ можно определить так же, как подмодули левого $A$-модуля $A$. Некоторые свойства колец не меняются при замене левых идеалов на правые. Например, радикал Джекобсона, определённый с помощью левых идеалов, совпадает с радикалом Джекобсона, определённым с помощью правых идеалов. С другой стороны, нётерово слева кольцо может не быть нётеровым справа.

Изучение идеалов коммутативных колец – важная часть коммутативной алгебры. С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство $\text{Spec} A$, точками которого являются все простые идеалы кольца $A$, отличные от $A$. При этом существует взаимно однозначное соответствие между всеми идеалами кольца $A$ и всеми замкнутыми подмножествами пространства $\text{Spec} A$.

В коммутативной алгебре встречается понятие идеала поля, точнее, идеал поля относительно кольца. При этом кольцо $A$ коммутативно, с единицей и без делителей нуля, а поле $Q$ – поле частных кольца $A$. Идеалом поля $Q$ называется ненулевое подмножество $I \subset Q$, являющееся подгруппой аддитивной группы поля $Q$, выдерживающее умножения на элементы из $A$ (т. е. для любых $a \in A,~ b \in I,~ a b \in I$) и такое, что существует элемент $q \in Q$, для которого $q I \subset A$. Идеал называется целым, если он содержится в $A$ (и тогда он служит обычным идеалом кольца $A$), в противном случае $I$ называется дробным идеалом.

Идеалом решётки называется непустое подмножество $I$ элементов решётки, удовлетворяющее условиям:

1) если $a,~ b \in I$, то $a+b \in I$;
2) если $c \leqslant a \in I$, то $c \in I.$

Дуальный идеал (или фильтр) решётки определяется двойственным образом $(a,~ b~ \in J \Rightarrow a b \in J,~ c \geqslant a \in J \Rightarrow c \in J)$. Идеалы решётки, упорядоченные включением, сами образуют решётку. Максимальный элемент в множестве всех собственных идеалов решётки называется максимальным идеалом. Если $f$ – гомоморфизм решётки в частично упорядоченное множество с нулём, то полный прообраз нуля является идеалом. Он называется ядерным идеалом гомоморфизма $f$. Идеал $S$ peшётки $L$ называется стандартным, если для любых $a,~ b \in L,~ s \in S$ неравенство $a<b+s$ влечёт $a=x+t$, где $x \leqslant b$ и $t \in S$. Всякий стандартный идеал является ядерным. Ядерный идеал решётки с относительными дополнениями является стандартным. Идеал $I$ называется простым, если из $a b \in I$ следует, что $a \in I$ или $b \in I$. Каждое из следующих условий эквивалентно простоте для идеала $I$ решётки $L$:

а) дополнение $L \backslash I$ является фильтром;
б) $I$ – полный прообраз нуля при некотором гомоморфизме решётки $L$ на двухэлементную решётку.

В дистрибутивной решётке каждый максимальный идеал прост.

Не вполне согласовано с предыдущим определение идеала в частично упорядоченном множестве. А именно, вместо условия 1) требуется выполнение более сильного условия: для всякого подмножества элементов, лежащих в идеале, их объединение, если оно существует в этом частично упорядоченном множестве, также лежит в $I$.

Идеалом объекта $A$ категории с нулевыми морфизмами называется подобъект $(U,~ \mu)$ объекта $A$ такой, что $\mu= \text{ker}~ \alpha$ для некоторого морфизма $\alpha: A \rightarrow B$. Этот идеал можно отождествить с совокупностью всех мономорфизмов, являющихся ядрами некоторого морфизма (см. также Нормальный мономорфизм). Двойственным образом определяется коидеал объекта категории. Понятие идеала для $\Omega$-групп является частным случаем понятия идеала объекта категории.

Левым идеалом категории $\mathfrak{K}$ называется класс морфизмов $\Im$, содержащий вместе со всяким своим морфизмом $\varphi$ все произведения $\alpha \varphi$, где $\alpha \in \mathfrak{K}$, если они определены в категории $\mathfrak{K}$. Двойственным образом определяется правый идеал категории. Двусторонний идеал – класс морфизмов, являющийся как левым, так и правым идеалом.