Форма́льный степенно́й ряд над кольцом $A$ от коммутирующих переменных $T_1, \ldots, T_n$, алгебраическое выражение вида$$F=\sum_{k=0}^{\infty} F_k,$$где $F_k$ – форма от $T_1, \ldots, T_n$ с коэффициентами из $A$ степени $k$. Минимальное значение $k$, для которого $F_k \neq 0$, называется порядком ряда $F$, а форма $F_k$ называется начальной формой ряда.

Если$$F=\sum_{k=0}^{\infty} F_k \text { и } G=\sum_{k=0}^{\infty} G_k$$– два формальных степенных ряда, то, по определению,$$F+G=\sum_{k=0}^{\infty}\left(F_k+G_k\right)$$и$$F \cdot G=\sum_{n=0}^{\infty} H_n,$$где$$H_n=\sum_{k=0}^n F_k G_{n-k}.$$Относительно этих операций множество $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$ всех формальных степенных рядов образует кольцо.

Многочлен $F=\sum_{k=0}^n F_k$, где $F_k$ – форма степени $k$, отождествляется с формальным степенным рядом $C=\sum_{k=0}^{\infty} C_k$, где $C_k=F_k$ при $k \leqslant n$ и $C_k=0$ при $k>n$. Это определяет вложение $i$ кольца многочленов $A\left[T_1, \ldots, T_n\right]$ в кольцо $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$. В кольце $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$ определена топология, для которой идеалы$$I_n=\left\{F \in A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right] \mid F_k=0 \text { при } k \leqslant n\right\}$$образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима, кольцо $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$ полно относительно этой топологии, и образ вложения $i$ всюду плотен в $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$. Относительно этой топологии формальный степенной ряд $F$ является пределом своих частичных сумм $\sum_{k=0}^n F_k$.

Пусть $A$ – коммутативное кольцо с единицей. Тогда таково же и кольцо $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$. Если $A$ – область целостности, то и $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$ – область целостности. Формальный степенной ряд $F$ обратим в кольце $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$ тогда и только тогда, когда $F_0$ обратим в $A$. Если $A$ – нётерово, то и $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$ также нётерово. Если $A$ – локальное кольцо с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, то $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$ – локальное кольцо с максимальным идеалом $\left(\mathfrak{m}, T_1, \ldots, T_n\right)$.

Если локальное кольцо $A$ отделимо и полно в $\mathfrak{m}$-адической топологии, то в кольце $A\left[\left[T_1, \ldots, T_n\right]\right]$ справедлива подготовительная теорема Вейерштрасса. Пусть $F$ – формальный степенной ряд такой, что для некоторого $k$ форма $F_k$ содержит член $a T_n^k$, где $a \notin \mathfrak{m}$, и пусть $k$ – минимальный индекс с этим свойством. Тогда $F=U P$, где $U$ – обратимый формальный степенной ряд и $P$ – многочлен вида $T_n^k+a_{k-1} T_n^{k-1}+\ldots+a_0$, где коэффициенты $a_i$ принадлежат максимальному идеалу кольца $A\left[\left[T_1, \ldots, T_{n-1}\right] \right]$. Элементы $U$ и $P$ однозначно определены рядом $F$.

Кольцо формального степенного ряда над полем или дискретно нормированным кольцом факториально.

Рассматриваются также кольца формального степенного ряда от некоммутирующих переменных.