Отноше́ние поря́дка, бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности. Более подробно, бинарное отношение $\leqslant$ на множестве $X$ называется отношением порядка, или просто порядком на $X$, если оно обладает свойствами:

(O1) $x \leqslant x$ для всех $x\in X$ (рефлексивность);

(O2) если $x \leqslant y$ и $y \leqslant x$, то $x=y$ (антисимметричность);

(O3) если $x \leqslant y$ и $y\leqslant z$, то $x \leqslant z$ (транзитивность).

(Запись $x \leqslant y$ обычно читается как «$x$ меньше или равно $y$» или «$y$ больше или равно $x$».)

Множество $X$, на котором задано отношение порядка $\leqslant$, называется упорядоченным множеством (также говорят, что отношение $\leqslant$ упорядочивает множество $X$). Два элемента $x, y$ упорядоченного множества называются сравнимыми, если имеет место хотя бы одно из соотношений $x \leqslant y$ или $y \leqslant x$, и несравнимыми в противном случае. Порядок на множестве называется линейным, если любые два его элемента сравнимы; множество с линейным порядком называется линейно упорядоченным множеством или цепью. Очень часто отношение порядка называют также отношением частичного порядка (а упорядоченное множество – частично упорядоченным множеством), подчеркивая этим то, что сравнимость любых двух элементов относительно этого порядка не требуется.

Э. Марчевский (Шпильрайн) доказал (Szpilrajn. 1930), что любой порядок на множестве $X$ может быть расширен до линейного (доказательство основано на лемме Цорна), при этом данный порядок является пересечением всех содержащих его линейных порядков.

Бинарное отношение $<$ на множестве $X$ называется отношением строгого порядка, если оно обладает свойствами:

(S1) $x<x$ не имеет места ни для какого $x\in X$ (антирефлексивность);

(S2) если $x<y$ и $y<z$, то $x<z$ (транзитивность).

Из этих свойств следует, что если $x<y$, то $y<x$ не имеет места. Каждому отношению порядка $\leqslant$ на множестве $X$ можно поставить в соответствие отношение строгого порядка $<$ следующим правилом: $x<y$, если $x \leqslant y$ и $x\neq y$, и наоборот, каждому отношению строгого порядка $<$ соответствует отношение порядка, заданное правилом: $x \leqslant y$, если $x<y$ или $x=y$. Эти правила устанавливают взаимно однозначное соответствие между всеми отношениями порядка и всеми отношениями строгого порядка на множестве $X$. Запись $x<y$ обычно читается как «$x$ меньше $y$» или «$y$ больше $x$» (иногда также «$x$ строго меньше $y$» или «$y$ строго больше $x$»).

Рефлексивное и транзитивное отношение на множестве называется отношением предпорядка или просто предпорядком; множество с заданным предпорядком называется предупорядоченным. Любой порядок является предпорядком; пример предпорядка $\leqslant$, не являющегося порядком, представляет отношение делимости на множестве целых чисел: для целых $a,b$ полагаем $a \leqslant b$, если $a$ делит $b$ (т. е. $b=an$ для некоторого целого $n$). Тогда, например, $17 \leqslant −17$ и $-17 \leqslant 17$, но $17\neq -17$. Отношение $\leqslant$ на множестве $X$, заданное правилом: $x \leqslant y$ для любых $x,y\in X$, является предпорядком на множестве $X$ и при этом не является порядком, если $X$ состоит более чем из одного элемента.

Если задано отношение предпорядка $\leqslant$ на множестве $X$, то бинарное отношение $\sim$, определяемое правилом: $x\sim y$, если $x \leqslant y$ и $y\leqslant x$, является отношением эквивалентности на $X$; при этом на множестве классов эквивалентности корректно определено отношение порядка: $[x] \leqslant [y]$, если $x \leqslant y$.