Математика
Научные законы, утверждения и уравнения математического анализа
Неравенства Хаусдорфа – Юнга
Нера́венства Хаусдо́рфа – Ю́нга, оценки коэффициентов Фурье функций из .
Признак Коши
При́знак Коши́, признак сходимости числового ряда.
Интегральный признак сходимости
Интегра́льный при́знак сходи́мости (признак Маклорена – Коши, признак Коши – Маклорена), признак одновременной сходимости числового ряда и несобственного интеграла.
Формула Планшереля
Фо́рмула Планшере́ля, формула, выражающая инвариантность скалярного произведения при преобразовании Фурье в пространстве :
Признак Абеля
При́знак А́беля, признак сходимости ряда, составленного из парных произведений, т. е. ряда вида
Нелинейное интегральное уравнение
Нелине́йное интегра́льное уравне́ние, интегральное уравнение, содержащее неизвестную функцию нелинейно.
Признак сравнения
При́знак сравне́ния, признак сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
Формула Муавра
Фо́рмула Муа́вра, формула, дающая правило для возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме Согласно формуле Муавра, модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени Эта формула найдена А. де Муавром (1707); современная запись предложена Л. Эйлером (1748).
Термины математического анализа
Функция Макдональда
Фу́нкция Макдо́нальда, модифицированная цилиндрическая функция, бесселева функция мнимого аргумента, – функция где – произвольное нецелое действительное число, – цилиндрическая функция чисто мнимого аргумента.
Предел (в математике)
Преде́л, одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в рассматриваемом процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Основные понятия математического анализа – непрерывность, производная, интеграл – определяются с помощью предела. Наиболее простыми являются понятия предела функции (в частности, предела последовательности) и понятие предела интегральных сумм. Число называют пределом последовательности , , если для любого числа существует (зависящее от него) натуральное число такое, что при всех выполняется неравенство
Преобразование Фурье
Преобразова́ние Фурье́, одно из интегральных преобразований, – линейный оператор , действующий в пространстве, элементами которого являются функции от действительных переменных. Минимальной областью определения считается совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций . Для таких функций
Ряд в математике
Ряд в математике, бесконечная сумма или, что то же самое, Слагаемые называются членами ряда ( иногда называют общим членом ряда), суммы – частичными суммами ряда порядка .
Линейная функция
Лине́йная фу́нкция, функция где и – постоянные.
Интеграл Фурье
Интегра́л Фурье́, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений.
Сходимость
Сходи́мость, одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторые математические объекты имеют предел. Понятие сходимость возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в некотором смысле объектов, приближающихся к данному, т. е. имеющих его своим пределом. В математике используют понятия сходимости последовательности, ряда, бесконечного произведения, непрерывной дроби, интеграла и т. д.
Сплайн
Сплайн (сплайн-функция), функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. Сплайны применяются для решения различных задач, связанных с аппроксимацией функций. Понятие «сплайн» обобщается на многомерный случай.
Математики
Эйлер Леонард
Э́йлер Леона́рд (1707–1783), швейцарский, прусский и российский математик и механик, член Петербургской АН и Прусской АН. Отец И. Эйлера. Труды по математике, механике, физике, астрономии, теории музыки, теории машин и др. Придал математическому анализу форму и манеру изложения, сохранявшиеся в течение полутора веков. Внёс существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений. На основе законов механики Ньютона разработал механику материальной точки, развил небесную механику, заложил основы гидродинамики и механики твёрдого тела. Эйлеру принадлежат также фундаментальные труды по геометрической оптике и другим разделам физики.
Ковалевская Софья Васильевна
Ковале́вская Со́фья Васи́льевна (1850–1891), российский математик, известная благодаря теореме о существовании решений нормальной системы уравнений с частными производными, получившей название теоремы Коши – Ковалевской, ею был найден новый случай решения задачи о вращении не вполне симметричного гироскопа. Первая в мире женщина – профессор математики и первая женщина, избранная членом-корреспондентом Петербургской АН (1889). Премия Парижской АН (1888), премия Шведской королевской АН (1889).
Грамматеус Генрих
Граммате́ус Ге́нрих (около 1492, Эрфурт – зима 1525/1526, Вена), немецкий математик. Его трактат «Новая книга об искусности [в счёте]» (около 1521) – практическое руководство для профессиональных торговцев. В нём описаны различные приёмы вычислений, представлены образцы решений арифметических и алгебраических задач. Трактат также содержит первое на немецком языке руководство по бухгалтерскому учёту и главу, посвящённую организации музыкального строя, в которой Грамматеус одним из первых применил геометрическое построение для деления целого тона точно пополам.
Нейман Карл Готфрид
Не́йман Карл Го́тфрид (1832–1925), немецкий математик, специалист в области дифференциальных уравнений и алгебраических функций. Занимался также проблемами гидродинамики, термодинамики и электродинамики.
Хаусдорф Феликс
Ха́усдорф Фе́ликс (1868–1942), немецкий математик, известный трудами по теории множеств, функциональному анализу, один из основоположников топологии.
Лагранж Жозеф-Луи
Лагра́нж Жозе́ф-Луи́ (1736–1813), французский математик и механик, член Прусской королевской АН (1759), Парижской АН (1772). Основные труды относятся к вариационному исчислению, аналитической и теоретической механике. Занимался исследованиями по различным вопросам математического анализа, теории чисел, алгебры, по дифференциальным уравнениям, по интерполированию, математической картографии, астрономии.
Тихонов Андрей Николаевич
Ти́хонов Андре́й Никола́евич (1906–1993), российский математик и геофизик. Занимался исследованиями в области топологии и функционального анализа, автор трудов по дифференциальным уравнениям, математической физике, геофизике и вычислительной математике.
Морган Огастес де
Мо́рган Ога́стес де (1806–1871), британский математик и логик, один из основателей и первый президент (1866) Лондонского математического общества. Основные работы по теории рядов и по алгебре логики. Имя Моргана носят равенства, позволяющие выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание и дизъюнкцию через конъюнкцию и отрицание.
Геометрия и топология
Геометрия Лобачевского
Геоме́трия Лобаче́вского, одна из неевклидовых геометрий, основана на тех же посылках, что и обычная – евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на иную: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её (достаточно, чтобы это было выполнено для одной точки и одной прямой).
Геометрия
Геоме́трия, раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении многих поколений она складывалась в стройную систему, накапливались новые геометрические знания, выяснялись связи между разными геометрическими фактами, формировались понятия о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл к качественному изменению – геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку, появились систематические изложения геометрии, в которых её предложения последовательно доказывались. В современном, более общем смысле геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к геометрии определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики, и её границы не являются точными.
Основания математики
Двойная окружность Александрова
Двойна́я окру́жность Алекса́ндрова, топологическое пространство, классический пример компактного хаусдорфова пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счётности, но не удовлетворяющего второй. Двойная окружность Александрова является частным случаем общетопологической конструкции – александровского удвоения.
Алгоритм
Алгори́тм, инструкция, точное описание способа действия с использованием простых, общепонятных элементов (например, операций). Построение и анализ конкретных алгоритмов, предназначенных для выполнения компьютером, относится к программированию.
Теория вероятностей
Медиана
Медиа́на в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Медиана в теории вероятностей – одна из характеристик распределения вероятностей случайной величины, иногда её называют серединным значением случайной величины.
Метод наименьших квадратов
Ме́тод наиме́ньших квадра́тов, один из методов теории ошибок, предназначенный для оценки неизвестных величин по результатам их измерений, содержащим случайные ошибки. Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями. Метод наименьших квадратов предложен К. Гауссом (1794–1795) и А.-М. Лежандром (1805–1806). Первоначально метод наименьших квадратов использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ применимости метода наименьших квадратов даны А. А. Марковым (1898) и А. Н. Колмогоровым (1946).
Множества
Дискретная топология
Дискре́тная тополо́гия, топология на множестве, в которой открыты все его подмножества. Топологическое пространство с такой топологией называется дискретным пространством.
Всюду плотное множество
Всю́ду пло́тное мно́жество, подмножество топологического пространства, пересекающееся с любым непустым открытым подмножеством этого пространства. Множество всюду плотно в пространстве в том и только том случае, если , т. е. если его замыкание совпадает со всем пространством. Вместо термина «всюду плотное множество» часто употребляется термин «плотное множество».
Инфимум и супремум
И́нфимум и супре́мум (непустого) числового множества, точная нижняя и точная верхняя грани этого множества. Если множество ограничено снизу, то существует число , наибольшее из чисел, ограничивающее снизу. Это число называют точной нижней гранью множества , обозначают и пишут . Если множество не ограничено снизу, то полагают . Аналогично определяется точная верхняя грань множества . Если множество ограничено сверху, то – наименьшее из чисел, ограничивающих сверху, а если не ограничено сверху, то .
Открытое множество
Откры́тое мно́жество, множество в топологическом пространстве, не содержащее предельных точек дополнительного к нему множества. Любая точка открытого множества является внутренней, т. е. имеет окрестность, целиком содержащуюся в открытом множестве.
Открыто-замкнутое множество
Откры́то-за́мкнутое мно́жество, подмножество топологического пространства, одновременно открытое и замкнутое в нём. Открыто-замкнутое множество совпадает со своими замыканием и внутренностью; обратно, если замыкание и внутренность подмножества топологического пространства совпадают (т. е. если ), то открыто-замкнуто в . Множество открыто-замкнуто в том и только том случае, если его граница пуста (т. е. если ). Семейство открыто-замкнутых подмножеств топологического пространства образует булеву алгебру относительно операций пересечения, объединения и дополнения. В любом топологическом пространстве множества и (пустое множество и всё пространство) открыто-замкнуты.
Оператор в математике
Опера́тор в матема́тике, математическое понятие, в самом общем смысле означающее соответствие между элементами двух множеств и , относящее каждому элементу из некоторый элемент из . Эквивалентный смысл имеют термины операция, отображение, преобразование, функция. Элемент называется образом , – прообразом . Термин «оператор» часто употребляется в функциональном анализе и линейной алгебре, в особенности для отображений векторных пространств.
Антидискретная топология
Антидискре́тная тополо́гия (тривиальная топология), топология на множестве, в которой открыты лишь пустое множество и всё пространство. Топологическое пространство с антидискретной топологией называется антидискретным пространством.
Нигде не плотное множество
Нигде́ не пло́тное мно́жество, подмножество топологического пространства , дополнение замыкания которого всюду плотно в или, эквивалентно, замыкание которого не содержит внутренних точек. Множество нигде не плотно в тогда и только тогда, когда любое непустое открытое множество в содержит непустое открытое подмножество, не пересекающееся с множеством . Примером несчётного нигде не плотного замкнутого подмножества вещественной прямой служит канторово совершенное множество.