Ориенти́рованный граф, граф, каждому ребру которого приписана ориентация. Ориентированный граф $G$ задаётся множеством вершин $V$ и набором $E$ упорядоченных пар вершин, называемых дугами. Говорят, что дуга $(u,v)$ исходит из вершины $u$ и входит в вершину $v$. Число дуг, исходящих из $v$, называется полустепенью исхода вершины $v$, а число дуг, входящих в $v$, называется полустепенью захода вершины $v$. Чередующаяся последовательность вершин и дуг $v_0, e_1, v_1, e_2, \ldots, e_n, v_n$, в которой $e_i=(v_{i-1},v_i)$, $i=1,2,\ldots, n$, называется маршрутом (ориентированным). Маршрут называется замкнутым, если его первая и последняя вершины совпадают. Путь – это маршрут, в котором все вершины различны. Контур – это нетривиальный (содержащий хотя бы одну дугу) замкнутый маршрут, у которого все вершины различны, кроме первой и последней. Если существует путь из вершины $u$ в вершину $v$, то говорят, что $v$ достижима из $u$.

Ориентированный граф $G$ с нумерованными вершинами $v_1,\ldots,v_n$ и дугами $e_1,\ldots,e_m$ можно задать матрицей инцидентности, т. е. матрицей $\|b_{ij}\|$ размера $n\times m$, в которой

$$b_{ij}=\begin{cases} +1,\ &\text{если дуга $e_j$ исходит из $v_i$,}\\ -1, &\text{если дуга $e_j$ заходит в $v_i$,}\\ 0, &\text{если дуга $e_j$ не инцидентна $v_i$.} \end{cases}$$Матрицей смежности $A(G)$ вершин ориентированного графа $G$ называется матрица $\|a_{ij}\|$ размера $n\times n$, в которой элемент $a_{ij}$ равен числу дуг, идущих из $v_i$ в $v_j$. Суммы элементов по строкам матрицы $A(G)$ равны полустепеням исхода вершин ориентированного графа $G$, а суммы элементов по столбцам – полустепеням захода. Элемент $(i,j)$ матрицы $A^k(G)$ (т. е. $k$-й степени матрицы смежности графа $G$) равен числу маршрутов длины $k$, идущих из $v_i$ в $v_j$

В ориентированном графе можно определить несколько типов связности. Ориентированный граф называется сильносвязным, или сильным, если любые две его вершины взаимно достижимы; односторонне связным, если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой; слабосвязным, или слабым, если любые две его вершины соединены цепью в графе, полученном из исходного ориентированного графа заменой каждой дуги (неориентированным) ребром.

Ориентированные графы используются: в теории вероятностей для представления цепей Маркова; в теории игр при описании множества игровых ситуаций и результатов состязаний; в математической экономике при решении транспортных задач; в теории автоматов для задания диаграмм переходов и т. п. В самой теории графов при решении некоторых задач относительно неориентированных графов иногда вводят ориентацию, сводя исходную задачу к задаче над ориентированными графами. Основное отличие ориентированного графа от неориентированного проявляется при определении таких понятий, как путь, связность, достижимость, расстояние и др. Наиболее интересными типами ориентированных графов являются турниры, транзитивные графы, графы частичных порядков, растущие деревья, графы однозначных отображений, бесконтурные графы.