Распределе́ние просты́х чи́сел, утверждения об асимптотическом поведении функции $π(x)$, где $π(x)$ – количество простых чисел, не превосходящих $x$, $x\gt 0$, при $x→∞$. Изучение начальных отрезков последовательности простых чисел показывает, что с увеличением $x$ она становится в среднем более редкой. Существуют сколь угодно длинные отрезки последовательности натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа. В то же время встречаются простые числа, разность между которыми равна двум (они называются близнецами). Таблицы простых чисел, меньших 11 млн, показывают наличие весьма больших близнецов, такими являются, например, 10 006 427 и 10 006 429. Теорема Евклида утверждает, что $π(x)→∞$ при $x→∞$. Л. Эйлер в 1737 г. ввёл дзета-функцию $$ζ(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s},$$$s=σ+it$, $σ>0$, и доказал, что

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}=\prod_p\left( (1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1},$$где суммирование проводится по всем натуральным, а произведение – по всем простым числам. Это тождество и его обобщения играют фундаментальную роль в теории распределения простых чисел. Исходя из него, Эйлер доказал, что ряд $\sum\frac{1}{p}$ и произведение $\prod\left( 1-\frac{1}{p}\right)^{-1}$ по простым $p$ расходятся, откуда следует теорема Евклида. Более того, Эйлер установил, что простых чисел «много», ибо $π(x)>\ln x-1$, и в то же время почти все натуральные числа являются составными, т. к. $π(x)/x→0$ при $x→∞$.

П. Дирихле в 1837 г., изучая вопрос о бесконечности простых чисел в арифметических прогрессиях $nk+l$, $n=0, 1, \ldots$, где $k$, $l$ – взаимно просты, рассмотрел аналог эйлерова произведения

$$\prod_p \left(\ 1-\frac{χ(p)}{p^s}\right)^{-1},$$где $χ(p)$ удовлетворяет условиям: не равна тождественно нулю, периодична с периодом $k$ и вполне мультипликативна, т. е. $χ(nm)=c(n)χ(m)$ для любых целых $n$, $m$. При $s>0$ справедлив аналог тождества Эйлера:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{χ(n)}{n^s}=\prod_p\left(\ 1-\frac{χ(p)}{p^s}\right)^{-1}.$$Ряд слева называется рядом Дирихле. Изучая поведение таких рядов при $s→1+0$, Дирихле доказал свою теорему о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях.

П. Л. Чебышёв в 1851–1852 гг. доказал, что существуют постоянные $a$ и $b$, такие, что

$$a\frac{x}{\ln x}\lt π(x)\lt b\frac{x}{\ln x},$$где $\frac{\ln 2}{2}\lt a$ и $b<2\ln 2$, и установил, что если существует предел

$$\frac{π(x)\ln x}{x}$$при $x→∞$, то он равен 1. В 1896 г. Ж. Адамар и Ш.-Ж. де Ла Валле Пуссен установили существование этого предела.