Турни́р в теории графов, ориентированный граф без петель, каждая пара вершин которого соединена дугой точно в одном направлении. Турнир с $n$ вершинами может служить описанием исхода состязания $n$ игроков, правилами которого запрещён ничейный исход. Понятие турнира используется для упорядочения $n$ объектов методом попарных сравнений. В связи с этим оно находит свои приложения в биологии, социологии и т. п.

Турнир называется транзитивным, если можно так занумеровать его вершины числами $1, 2, \ldots, n$, что из вершины $v_i$ идёт дуга в вершину $v_j$ тогда и только тогда, когда $i>j$. В транзитивном турнире отсутствуют контуры. Турнир называется сильным, если для любой упорядоченной пары его вершин $v_i, v_j$ существует ориентированный путь из $v_i$ в $v_j$. Множество дуг в турнире называется согласованным, если в подграфе, образованном этими дугами и инцидентными им вершинами, отсутствуют контуры. Максимальная мощность множества согласованных дуг является мерой согласованности при определении «победителя» турнира. Всякий турнир содержит подмножество согласованных дуг мощности не меньшей, чем $(n^2/4) (1 + o(1))$. Другой мерой согласованности является отношение числа транзитивных $k$-вершинных подтурниров турнира с $n$ вершинами к числу сильных $k$-вершинных подтурниров. Максимальное число сильных $k$-вершинных подтурниров турнира с $n$ вершинами равно $$\begin{gathered} {\large C}^{\mkern2mu k}_n-k{\mkern2mu}{\large C}^{\mkern2mu k}_{\textstyle\frac{n-1}2},\ \text{если $n$ нечётно,}\\ {\large C}^{\mkern2mu k}_n-\frac k2\left({\large C}^{\mkern2mu k+1}_{\textstyle\frac n2} - {\large C}^{\mkern2mu k-1}_{\textstyle\frac{n-2}2}\right), \text{если $n$ чётно.} \end{gathered}$$Турнир является сильным тогда и только тогда, когда он имеет остовный контур. Каждый сильный турнир с $n$ вершинами имеет контур длины $k$ для $k=3, 4, \ldots, n$. Всякий турнир имеет остовный путь.

Набор всех полустепеней исхода $d_i$ турнира с $n$ вершинами удовлетворяет равенству $$\sum_{i=1}^nd_i^2=\sum_{i=1}^n(n-d_i)^2.$$Пусть набор целых чисел $(d_1, \ldots, d_n)$ удовлетворяет условию $0\leqslant d_1\leqslant\ldots\leqslant d_n\leqslant n-1$. Турнир с полустепенями исхода $d_1, \ldots, d_n$ существует тогда и только тогда, когда для любого $k=1, \ldots, n–1$ выполняется неравенство $$\sum_{i=1}^k d_i\geqslant\frac{k(k-1)}2,$$а для $k=n$ справедливо равенство. При этом турнир является сильным тогда и только тогда, когда $$\sum_{i=1}^k d_i>\frac{k(k-1)}2\ \text{ для } k<n.$$Если $T_1$ и $T_2$ – два подтурнира турнира $T$ и для каждой пары вершин $v'$ из $T_1$ и $v''$ из $T_2$ существует дуга $(v', v'')$, то пишут $T_1\to T_2$. Пусть множество вершин турнира разбито на непересекающиеся подмножества $T_1,\ldots T_m$, и пусть либо $T_i\to T_j$, либо $T_j\to T_i$ для $1\leqslant i\leqslant j\leqslant m$. Тогда разбиение определяет отношение эквивалентности на вершинах турнира. Турнир называется простым, если на его вершинах нельзя определить нетривиальное отношение эквивалентности. Всякий турнир с $n$ вершинами является подтурниром некоторого простого турнира с $n+2$ вершинами. Турнир $T$ с $n$ вершинами является подтурниром некоторого простого турнира с $n+1$ вершинами тогда и только тогда, когда $T$ не является ни контуром с тремя вершинами, ни нетривиальным транзитивным турниром с нечётным числом вершин. Число попарно неизоморфных турниров с $n$ вершинами асимптотически равно $\dfrac 1{n!} 2^{C^2_n}$. Число различных турниров с $n$ нумерованными вершинами равно $2^{C^2_n}$. Производящие функции $t(x)$ и $s(x)$ для турниров и сильных турниров соответственно связаны соотношением: $$s(x)=\frac{t(x)}{1+t(x)}.$$Всякий турнир с $n$ вершинами, $n>5$, не являющийся сильным, однозначно восстанавливается по совокупности своих вершинных подтурниров.