Пло́ский граф (планарный граф), граф, допускающий правильную укладку на плоскости. Иными словами, граф $G$ называется плоским, если он может быть изображён на плоскости так, что вершинам соответствуют различные точки плоскости, Рис. 1. Полный граф с пятью вершинами.Рис. 1. Полный граф с пятью вершинами.а линии, соответствующие рёбрам (исключая их концевые точки), не проходят через точки, соответствующие вершинам, и не пересекаются. К рассмотрению плоских графов сводятся такие задачи, как задача о раскраске карт, задачи о проектировании коммуникаций, задачи из радиоэлектроники, связанные с реализацией схемы с помощью плоских печатных подсхем, и др. Любая правильная (без пересечения рёбер) укладка связного плоского графа порождает разбиение плоскости на отдельные области (грани). Такое разбиение плоскости называется плоской картой. Для любой плоской карты имеет место формула Эйлера $$n-m+r=2,$$где $n$ – число вершин, $m$ – число рёбер и $r$ – число областей карты (включая внешнюю область).

Рис. 2. Полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой доле.Рис. 2. Полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой доле.Отсюда графы $K_5$ (полный граф с $n=5$, см. рис. 1) и $К_{3,3}$ (полный двудольный граф, имеющий по $3$ вершины в каждой доле, см. рис. 2) не являются плоскими. Эти графы являются в некотором смысле минимальными неплоскими графами в силу теоремы Понтрягина – Куратовского: граф плоский тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, гомеоморфного графу $K_5$ или $K_{3,3}$.

Существуют и другие критерии планарности (т. е. свойства графа быть плоским). В частности, граф $G$ является плоским тогда и только тогда, когда каждая нетривиальная двусвязная компонента графа $G$ обладает таким базисом циклов $Z_1, Z_2, \ldots, Z_m$ и таким дополнительным циклом $Z_0$, что любое ребро графа $G$ принадлежит точно двум из этих $m+1$ циклов (базис циклов – это подмножество циклов данного графа, независимое и полное во множестве всех циклов графа относительно операции сложения по модулю $2$).

Рис. 3. Пример построения двойственного графа на плоскости.Рис. 3. Пример построения двойственного графа на плоскости.Любой плоский граф можно изобразить на плоскости так, чтобы все его рёбра являлись отрезками прямых. Любой трёхсвязный плоский граф единственным образом укладывается на сфере (с точностью до гомеоморфизма сферы). Каждой укладке плоского графа на плоскости, а следовательно и плоской карте, можно поставить в соответствие геометрически двойственный ей граф, получаемый следующим образом. В каждую область карты помещается по вершине плоского графа, и если две области имеют общее ребро $e$, то помещённые в них вершины соединяются ребром $e^{*}$, пересекающим только ребро $e$ (на рис. 3 сплошными линиями изображена укладка плоского графа, а штриховыми – двойственный ей граф). Плоская карта, каждая грань которой ограничена тремя рёбрами, называется плоской триангуляцией. Число рёбер плоской триангуляции с $n$ вершинами равно $Зn–6$.

В теории графов большое внимание уделяется раскраскам плоских графов; для неплоских графов изучаются различные числовые характеристики, показывающие степень непланарности, например род, толщина, крупность графа, число скрещиваний и др.