Обра́тная фу́нкция, функция $x=h(y)$, которая получается из данной функции $y=f(x)$, если из соотношения $f(x)=y$ выразить $x$ через $y$. Более подробно это означает следующее. Пусть функция $y=f(x)$ определена на множестве $E$, и пусть $E^\prime$ – множество её значений. Обратной по отношению к $y=f(x)$ называется такая функция $x=h(y)$, которая определена на множестве $E'$ и каждому $y\in E'$ ставит в соответствие такое $х\in E$, что $f(x)=y$. Таким образом, для нахождения функции $x=h(y)$, обратной к функции $y=f(x)$, необходимо решить уравнение $f(x)=y$ относительно $x$. Например, обратной функцией к $y=3x$ является $x=y/3$; обратной функцией к $y=10^x$ является $x=\lg y$.

Отображение, задаваемое функцией $x=h(y)$, обратной к $y=f(x)$, является (левым) обратным к отображению, задаваемому функцией $y=f(x)$. При этом имеет место тождество $f(h(y)) \equiv y$ для всех $y$ из множества $E'$.

Для функции $y=f(x)$ обратная функция $x=h(y)$ может быть многозначной. Например, обратной функцией к $y=x^2$ является $x=\pm\sqrt y$, $y>0$; обратной функцией к $y=\tg x$ является $x=\operatorname{Arctg} y= \arctg y +kπ$, $k=0, ±1, ±2,\dots$ (см. Обратные тригонометрические функции). Для однозначности обратной функции необходимо и достаточно, чтобы данная функция $y=f(x)$ принимала различные значения при различных значениях аргумента, т. е. чтобы $f(x_1) \neq f(x_2)$ при $x_1\neq x_2$. Для однозначности обратной функции $x=h(y)$ к функции $y=f(x)$ достаточно, чтобы $y=f(x)$ была строго монотонной функцией. Это условие является и необходимым, если функция $y=f(x)$ определена и непрерывна на числовом промежутке; в этом случае обратная функция также определена, строго монотонна и непрерывна на числовом промежутке. При этом, если функция $f(x)$ имеет производную и $f'(x)≠0$, то обратная функция $h(y)$ также имеет производную и $h'(y)=1/f'(h(y))$.

В случае, когда обратная функция к функции $y=f(x)$ многозначна, рассматривается такой числовой промежуток, на котором $y=f(x)$ строго монотонна, тогда для $y=f(x)$ на этом промежутке обратная функция однозначна. Например, для функции $y=x^2,\, x\geq 0$, обратная функция есть $x= \sqrt y$; для $y=x^2$, $x\leq 0$, обратная функция есть $x=-\sqrt y$; для функции $y=\sin x$, $-\pi/2\leq x\leq \pi/2$, обратная функция есть $x=\arcsin y$.

Иногда обратная функция к функции $y=f(x)$ обозначается $x=f^{-1}(y)$. Если обратная функция однозначна, то $f^{-1}(f(x))\equiv x$ при всех $x$ из области определения функции $f(x)$ и $f(f^{-1}(x))\equiv x$ при всех $x$ из области определения функции $f^{-1}(x)$. Графики (рис.) функций $y=f(x)$ и $y=f^{-1}(x)$ симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.