Моде́ль потреби́тельского вы́бора (ординалистский подход), формализованное описание утилитаристского представления о том, как потребитель совершает оптимальный выбор благ с целью максимизации уровня полезности при наличии ограничений в виде рыночных цен, дохода и др. Ординалистский подход, в отличие от кардиналистского, предполагает, что полезность благ нельзя измерить количественно, блага можно только ранжировать качественно, в определённом порядке.

Два подхода к оценке полезности

О задаче дать возможность людям увеличивать полезность от потребления писал И. Бентам, которого и считают основателем школы утилитаризма. В его работе «Введение в основания нравственности и законодательства» сказано: «Под полезностью понимается то свойство предмета, по которому он имеет стремление приносить благодеяние, выгоду, удовольствие, добро или счастье… предупреждать вред, страдание, зло или несчастье той стороны, об интересе которой идёт речь…» (Бентам. 1998. С. 10). Таким образом, покупка товаров (услуг), которые обладают таким свойством, становится в микроэкономике предметом изучения в теории потребления, а их производство – в теории производства.

Один из самых известных последователей Бентама, Дж. С. Милль, развил его идеи, показав, что полезность субъективна и неоднородна, что невозможно простое количественное суммирование удовольствий. Это заложило основу разделения двух подходов к теории потребительского выбора, кардиналистского и ординалистского. Ординалистский подход подразумевает невозможность выразить полезность в каких-то конкретных единицах. Более того, сторонники данного подхода считают, что делать это и не нужно. Необходимо лишь найти способ ранжирования наборов товаров и с его помощью описать предпочтения потребителя. Ранжирование может быть представлено в табличном виде или простым перечислением. А может и в виде функции, которую называют соответственно функцией полезности. Такая функция должна приписывать каждому набору благ некий уровень полезности (удовлетворения) так, что чем «лучше» набор (чем большую полезность он приносит индивиду), тем больше значение функции. Эквивалентным для потребителя в терминах полезности наборам она будет приписывать одинаковые значения. Конкретное же числовое выражение этого значения не только неважно, но и невозможно: нельзя сравнить между собой полезности, получаемые от одного и того же набора разными индивидами, даже если бы они могли на определённой шкале указать, какие уровни полезности каждый из них получил. Поскольку такая функция полезности указывает на порядок ранжирования наборов, она носит название ординальной (порядковой).

Функция полезности и задача определения наилучшего набора благ

Идея ординалистского подхода развивалась разными экономистами, но наиболее широко известны работы Дж. Р. Хикса, Р. Дж. Д. Аллена (1906–1983) и Дж. Дебрё. В частности, в книге последнего «Теория ценности» приводится как аксиоматика, так и все необходимые и достаточные предпосылки относительно отношений предпочтения для получения непрерывной квазивогнутой функции полезности, представляющей такие предпочтения (Debreu. 1959). Именно такая функция полезности гарантирует, что при решении задачи потребителя выполняются условия как первого (необходимые условия), так и второго (достаточные условия) порядка. Фактически работа Дебрё доводит неоклассическую теорию потребительского выбора до её нынешней стандартной формы. Большинство самых распространённых учебников по микроэкономике сегодня продолжают придерживаться ординалистского подхода при описании выбора потребителя (Case. 2013; Mankiw. 2021; Nicholson. 2022; Perloff. 2009; Varian. 2016 и др.).

Формально это означает, что из множества доступных наборов потребитель выберет тот из них, который для него является наилучшим. При этом наилучших наборов может быть несколько, если они эквивалентны между собой, но лучше остальных. То есть при векторе экзогенно заданных цен $p \in R^n_{++}$ и заданном доходе $m \geq 0$ множество допустимых товарных наборов может быть представлено как $B(p,m)= \{ x \in R_+^n | \sum_{i=1}^n p_{i} x_{i} \leq m \}$, т. е. лежит в неотрицательной области и ограничено бюджетом. Из этого множества допустимых наборов тот набор $x^{*}$, который будет выбран, удовлетворяет следующему условию $x^{*} \in B(p,m): x^{*} \succeq \tilde{x} \in B(p,m), \tilde{x} \neq x^{*}$ (он не хуже всех остальных наборов и не совпадает с ними).

Задача поиска такого набора нетривиальна. Однако если предпочтения потребителя относительно различных наборов товаров представимы некоторой функцией полезности, то такая задача может быть сведена к задаче условной оптимизации.

Пусть потребитель характеризуется функцией полезности $U(x)$ такой, что она приписывает каждому набору $x$ некоторое число, притом лучшему набору приписывается большее число, а эквивалентным (в терминах полезности) наборам – одинаковое, и $x=( x_{1} ,..., x_{n} )$ – вектор альтернатив (потребительских наборов), являющийся элементом допустимого потребительского множества $X$. Пусть также в рамках допустимого множества потребителю доступны только наборы, удовлетворяющие условию: $px \leq m$, где $p \in R_{++}^n$ – вектор цен (не обязательно в денежном выражении), $m \geq 0$ – доход потребителя (может формироваться разным образом и не обязательно имеет денежное выражение).

Тогда для нахождения набора, являющегося выбором потребителя, необходимо решить следующую задачу:

$$\begin{equation*} \begin{cases} argmaxU( x_{1} , ..., x_{n} ), \\ x_{1} , ..., x_{n} \geq 0, \\ \sum_{i=1}^n p_{i} x_{i} \leq m . \end{cases} \end{equation*}$$По теореме Вейерштрасса, если функция непрерывна на компакте и дифференцируема, то задача всегда имеет решение. При заданных ценах и доходе решение даёт конкретный набор, который и будет выбран потребителем. Если цены и доход не заданы, а являются параметрами модели, решением этой задачи для всех допустимых цен и дохода будут функции маршалловского спроса (количество товара, который потребитель купит при заданных ценах и доходе, решая задачу максимизации полезности) потребителя на все товары $x_{i} ( p_{i} ,m)$. Анализ этих функций в рамках сравнительной статики позволяет показать влияние изменения экзогенных параметров (введение налогов и субсидий, изменение цен, изменение дохода) на выбор потребителя.

Можно рассмотреть решение следующей задачи:

$$\begin{equation*} \begin{cases} argmaxU( x_{1}, x_{2}) = x_{1}+ \ln x_{2} , \\ x_{1} \geq0 , \\ x_{2} >0, \\ \sum_{i=1} ^2 p_{i} x_{i} \leq m. \end{cases} \end{equation*}$$Следует заметить, что функция $U( x_{1}, x_{2}) = x_{1}+ \ln x_{2}$ возрастает по обоим аргументам, а это значит, что решение будет найдено на границе компакта, т. е. при $\sum_{i=1}^2 p_{i} x_{i} =m$. Запишем лагранжиан:

$$L= x_{1} + \ln x_{2} + \lambda \bigg( \sum_{i=1}^2 p_{i} x_{i} -m\bigg).$$Отсюда можно получить следующие условия первого порядка:

$$\begin{equation} \frac{ \partial L}{ \partial x_{1} } =1- \lambda p_{1} =0, x_{1} >0, \end{equation}$$$$\begin{equation} \frac{ \partial L}{ \partial x_{1} } =1- \lambda p_{1} \leq 0, x_{1} =0, \end{equation}$$$$\begin{equation} \frac{ \partial L}{ \partial x_{2} } = \frac{1}{ x_{2} } - \lambda p_{2} = 0, x_{2} >0, \end{equation}$$$$\begin{equation} \frac{ \partial L}{ \partial \lambda } = \sum_{i=1}^2 p_{i} x_{i} - m =0. \end{equation}$$Для нахождения искомых наборов условий первого порядка достаточно, поскольку функция вогнута. Решение этой системы уравнений при разных значениях параметров может дать как внутренние (потребление обоих товаров строго положительно), так и угловые (агент не потребляет товар) решения.

Из одновременно выполненных уравнений (1), (3) и (4) получаем следующие функции маршалловского спроса: $$x_{1} ( p_{1} ,m)= \frac{m}{ p_{1} } -1,$$$$x_{2} ( p_{2} ,m)= \frac{ p_{1} }{ p_{2} } ,$$$$при \;условии,\;что \;\frac{m}{ p_{1} } >1; \;иначе$$из одновременно выполненных уравнений (1), (2) и (4) получаем следующие функции маршалловского спроса:

$$x_{1}( p_{1} ,m)=0,$$$$x_{2} ( p_{2} ,m)= \frac{m}{ p_{2} } ,$$$$при \;условии,\;что \;\frac{m}{ p_{1} } \in (0;1].$$

Графическое представление модели потребительского выбора

Рис. 1. Внутреннее решение задачи поиска наилучшего набора.Рис. 1. Внутреннее решение задачи поиска наилучшего набора.Получение внутренних или угловых решений может быть продемонстрировано с помощью графика, на котором изображено, во-первых, допустимое множество $(\sum_{i=1}^2 p_{i} x_{i} \leq m)$, во-вторых, линии уровня (кривые безразличия) функции полезности.

В первом случае (рис. 1) кривая безразличия касается бюджетной линии с наклоном $\frac{ p_{1} }{ p_{2} }$ во внутренней точке $A$, и эта точка является наилучшей, так как лежит на самой дальней из возможных кривых безразличия (с наибольшим значением функции полезности $U_{max}$).

Рис. 2. Угловое решение задачи поиска лучшего набора.Рис. 2. Угловое решение задачи поиска лучшего набора.Во втором случае (рис. 2) кривая безразличия касается бюджетной линии с наклоном $\frac{ p_{1} }{ p_{2} }$ в области вне допустимых значений в точке $C$, поэтому выбирается угловая точка $B$, в которой касания не происходит, однако тем не менее кривая безразличия $U_{0}$ – самая дальняя из возможных на бюджетном множестве.

Следует заметить, что если цены и доход – наблюдаемые и измеряемые величины, то в качестве функции полезности предлагается использовать наиболее правдоподобную функцию, которая могла бы описать субъективное отношение агента к различным товарным наборам и лишь ранжировать их так, чтобы лучшим наборам соответствовало большее значение функции, поэтому собственно поиском максимального значения этой функции в модели потребительского выбора не занимаются.