Компа́кт, метризуемое компактное пространство. Примеры компакта: отрезок, окружность, $n$-мерные куб, шар, сфера, канторово множество, гильбертов кирпич; $n$-мерное евклидово пространство не является компактом, а подмножество такого пространства будет компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Замкнутое подмножество компакта есть компакт, и всякий компакт гомеоморфен замкнутому подмножеству гильбертова кирпича (теорема Урысона). Для существования гомеоморфизма компакта в евклидово пространство необходимо и достаточно, чтобы он был конечномерен (теорема Понтрягина – Нёбелинга). Непрерывный образ компакта, являющийся $T_2$-пространством, есть компакт, и всякий компакт есть непрерывный образ канторова множества (теорема Александрова). Произведение конечного или счётного множества компактов есть компакт. Любой компакт сепарабелен, компакты характеризуются тем, что обладают конечной или счётной базой. Компакт характеризуется также тем, что он вполне ограничен относительно какой-нибудь метрики, совместимой с его топологией (теорема Хаусдорфа).

Компакт – один из важнейших классов топологических пространств. Свойство метризуемого пространства быть компактом равносильно каждому из следующих свойств.

1. Из любого счётного открытого покрытия пространства $X$ можно выделить конечное подпокрытие (аналог леммы Гейне – Бореля – Лебега о покрытии отрезка интервалами).

2. Любая счётная система таких замкнутых в $X$ непустых множеств $F_i$, что $F_{i+1}\subset F_i$, $i= 1, 2, \ldots$, имеет непустое пересечение (обобщение принципа вложенных отрезков Кантора).

3. Из любой последовательности точек пространства $X$ можно выделить сходящуюся в $X$подпоследовательность (обобщённая теорема Больцано – Вейерштрасса).

4. Любое бесконечное подмножество пространства $X$ имеет в $X$ хотя бы одну предельную точку (обобщённая теорема Больцано – Вейерштрасса).

5. Любая непрерывная на $X$ функция ограничена (обобщённая теорема Вейерштрасса).

6. Любая непрерывная на $X$ функция принимает в некоторой точке максимальное (минимальное) значение (обобщённая теорема Вейерштрасса).

7. Любая непрерывная на $X$ функция равномерно непрерывна на $X$ относительно какой-либо метрики, совместимой с топологией пространства $X$ (обобщённая теорема Гейне – Кантора).