Ко́льца и а́лгебры, множества с двумя бинарными операциями, которые обычно принято называть сложением и умножением. Кольцом называется множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и противоположный элемент $-x$ для каждого элемента $x$), 2) операция умножения в котором удовлетворяет правому и левому законам дистрибутивности относительно сложения, т. е. $x(y+z)=x y+x z$ и $(y+z) x=y x+z x$, для любых элементов $x, y, z$ из кольца. Если кольцо $K$ не имеет делителей нуля, т. е. $x y \neq 0$ для любых ненулевых элементов $x, y \in K$, то множество всех ненулевых элементов кольца будет группоидом относительно умножения. Кольцо будет телом, если множество его ненулевых элементов образует группу относительно умножения. Кольцо $K$ называется ассоциативным, если умножение в нём удовлетворяет закону ассоциативности, т. е. $(x y) z=x(y z)$, для любых $x, y, z$ из $K$. Если умножение в кольце коммутативно, то кольцо называется коммутативным. Единицей называется такой элемент 1 кольца, что

$$x \cdot 1=1 \cdot x=x$$для всех $x \in K$. Кольцо, вообще говоря, не обязано обладать единицей. Любое тело является ассоциативным кольцом с единицей и без делителей нуля. Ассоциативно-коммутативное кольцо без делителей нуля и с единицей называется областью целостности.

Пусть $\Phi$ – произвольное ассоциативное кольцо с единицей 1. Кольцо ${A}$ (не обязательно ассоциативное) называется алгеброй над $\Phi$, или операторным кольцом с кольцом операторов $\Phi$, если для любых элементов $\alpha \in \Phi$, $a \in A$ однозначно определено произведение $\alpha a \in A$, причём так, что для всех $\alpha, \beta \in \Phi$, $a, b \in A$ справедливы соотношения

$$\left.\begin{aligned} (\alpha+\beta) a&=\alpha a+\beta a, \quad\alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b \\ \alpha(\beta a)&=(\alpha \beta) a, \quad 1 a=a, \quad \alpha(a b)=(\alpha a) b. \end{aligned}\right\} \tag{1}$$Если кольцо $\Phi$ коммутативно, то принято требовать усиления последнего из условий (1):

$$\alpha(a b)=(\alpha a) b=a(\alpha b).$$Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na$ (где $n$ – целое число) обычно, т. е. как $\underbrace{a+a +\ldots +a}_{n\,\,\text{раз}}$. Поэтому кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если $A$ – алгебра над полем $\Phi$, то, по определению, $A$ является векторным пространством над $\Phi$, а значит, имеет базис. Это даёт возможность строить алгебры над полем по базису, для чего достаточно задать таблицу умножения базисных элементов. Алгебра над полем называется конечномерной, если она имеет конечный базис, т. е. если она конечномерна как векторное пространство над своим полем.

Наиболее известными примерами алгебр являются алгебры квадратных матриц, алгебры многочленов и алгебры формальных степенных рядов над полями.

В теории колец и алгебр, как и в любой другой алгебраической теории, большую роль играют понятия гомоморфизма и изоморфизма. Многие рассуждения и описания проводятся «с точностью до изоморфизма», т. е. изоморфные кольца и алгебры не различаются. Понятие гомоморфизма тесно связано с понятиями идеала и подалгебры (подкольца).

Пусть $A$ и $B$ – две алгебры (над некоторым фиксированным кольцом $\Phi$ с единицей). Отображение $\varphi: A \rightarrow B$ множества $A$ в множество $B$ называется гомоморфизмом алгебры $A$ в алгебру $B$, если оно «сохраняет операции алгебры», т. е.

$$\begin{gathered} \varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y), \\ \varphi(x y)=\varphi(x) \varphi(y), \\ \varphi(\alpha x)=\alpha \varphi(x) \end{gathered}$$для любых $x, y \in A$, $\alpha \in \Phi$. Гомоморфизм $\varphi$ называется изоморфизмом, если $\varphi$ – взаимно однозначное отображение множества $A$ на множество $B$. Последнее равносильно тому, что образ гомоморфизма $\varphi$:

$$\operatorname{Im} \varphi=\varphi(A)=\{\varphi(a) \mid a \in A\},$$вообще говоря, являющийся подалгеброй алгебры $B$, совпадает со всей алгеброй $B$, а ядро гомоморфизма $\varphi$:

$$\operatorname{Ker} \varphi=\{a \in A \mid \varphi(a)=0\},$$вообще говоря, являющееся двусторонним идеалом в $A$, в этом случае – нулевой идеал. Двусторонние идеалы алгебры ${A}$ и только они служат ядрами гомоморфизмов этой алгебры, а гомоморфные образы $A$, с точностью до изоморфизма, исчерпываются факторалгебрами алгебры $A$ по всевозможным её двусторонним идеалам.

Переход от алгебры к её подалгебрам и гомоморфным образам является одним из способов получения новых алгебр. Так, например, из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $\Phi$ можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $\Phi$. Среди других часто применяемых конструкций следует отметить прямые суммы, прямые и подпрямые произведения колец и алгебр.

Историческая справка

Примерно до середины 19 в. были известны лишь отдельные примеры колец: числовые кольца, т. е. подкольца поля комплексных чисел, появившиеся в связи с потребностями теории алгебраических уравнений, кольца вычетов целых чисел – в теории чисел. Общего понятия кольца не существовало. Первые примеры некоммутативных колец и алгебр встречаются (1843–1844) в работах У. P. Гамильтона и Г. Грассмана. Это – тело кватернионов, алгебра бикватернионов, внешняя алгебра. Начинает формироваться понятие гиперкомплексной системы, т. е., в современной терминологии, конечномерной ассоциативной алгебры над полем $\mathbb{R}$ действительных чисел либо над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел. К 1870 г. в работах Б. Пирса (В. Peirce) появились понятия идемпотентного элемента (идемпотента) и нильпотентного элемента и было доказано, что если не все элементы гиперкомплексной системы нильпотентны, то в ней имеется хотя бы один ненулевой идемпотент. Полученные результаты позволили развить «технику идемпотентов» и «пирсовских разложений», широко применявшихся при изучении конечномерных алгебр.

После 1870 г. начинается общее исследование гиперкомплексных систем. В работах P. Дедекинда встречается общее понятие (ассоциативного) кольца, тела и алгебры над полем (гиперкомплексной системы), хотя кольцо у него называлось не кольцом, а порядком. Термин «кольцо» был введён Д. Гильбертом позднее. К. Вейерштрасс и P. Дедекинд доказали, что любая конечномерная ассоциативно-коммутативная алгебра без нильпотентных элементов над полем действительных чисел является прямой суммой полей, изоморфных либо полю $\mathbb{R}$ действительных чисел, либо полю $\mathbb{C}$ комплексных чисел. Г. Фробениус в 1878 г. доказал, что единственное некоммутативное тело конечной размерности над полем действительных чисел – тело кватернионов.

К началу 20 в. в работах С. Э. Молина и Э. Картана были получены наиболее значительные результаты по теории гиперкомплексных систем. К этому времени уже была достаточно развита теория гомоморфизмов, выяснена связь их с идеалами, появилось понятие прямой суммы алгебр. С. Э. Молин, рассматривая конечномерные ассоциативные алгебры над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел, ввёл понятие простой алгебры и доказал, что простые алгебры – это в точности полные алгебры матриц над полем $\mathbb{C}$. Он же ввёл понятие радикала (теперь называемого классическим радикалом) и доказал, по существу, что если радикал алгебры равен нулю, то алгебра является прямой суммой простых алгебр. Эти результаты были вновь найдены Э. Картаном, который, кроме того, распространил их на алгебры над полем $\mathbb{R}$ действительных чисел. В начале 20 в. начинают рассматривать алгебры (ассоциативные и конечномерные) над произвольным полем, а не только над полями действительных или комплексных чисел. Дж. М. Веддербёрн, совершенствуя технику идемпотентов Пирса, перенёс результаты С. Э. Молина и Э. Картана на случай произвольного поля. Он же доказал, что любое конечное тело коммутативно.

Наконец, в 1920–1930-x гг. стали изучать произвольные ассоциативные кольца и алгебры. При этом большую роль начинают играть левые и правые идеалы колец. В. Крулль и Э. Нётер в 1925–1926 гг. ввели и систематически использовали условие максимальности и минимальности для левых идеалов. В 1927 г. Э. Артин перенёс результаты Дж. М. Веддербёрна о разложении полупростых алгебр на все ассоциативные кольца и алгебры, левые идеалы которых одновременно удовлетворяют и условию максимальности и условию минимальности. В 1929 г. Э. Нётер показала, что при этом достаточно требовать только условий минимальности. К 1939 г. было доказано, что при условии минимальности (также как и при условии максимальности) радикал кольца является его наибольшим нильпотентным левым идеалом (см. Артиново кольцо, Нётерово кольцо). Таким образом, к 1940 г. теория Молина – Картана – Веддербёрна была перенесена на случай ассоциативных колец и алгебр c условием минимальности для левых (или правых) идеалов.

Основные направления теории колец и алгебр

Структурная теория даёт описание алгебр (как правило, удовлетворяющих некоторым условиям конечности), представляя их в виде прямой суммы или подпрямого произведения более просто устроенных алгебр. Для ассоциативных колец и алгебр классическая теория Молина – Картана – Веддербёрна – Артина перенесена на случай колец и алгебр с условием минимальности для главных левых идеалов. При этом же условии доказано, что если алгебра не имеет нильпотентных идеалов, то она разлагается в прямую (не обязательно конечную) сумму простых алгебр, а если она не имеет даже нильпотентных элементов, то – в прямую сумму тел. В случае, когда алгебра имеет нильпотентные идеалы, её строение значительно сложнее. Наиболее известной теоремой о таких алгебрах является теорема Веддербёрна – Мальцева «об отщеплении радикала» – о разложении конечномерной ассоциативной алгебры в полупрямую сумму радикала и полупростой подалгебры. Содержательная структурная теория создана для альтернативных алгебр (см. Альтернативные кольца и алгебры), на которые фактически перенесена вся теория Молина – Картана – Веддербёрна – Артина, а также для йордановых алгебр.

Ряд структурных теорем получен и без условий конечности. Ещё В. Крулль доказал, что любое ассоциативно-коммутативное кольцо без нильпотентных элементов разлагается в подпрямое произведение колец без делителей нуля. В дальнейшем было доказано, что в теореме Крулля требование коммутативности можно опустить, а затем был найден ряд критериев разложимости произвольной неассоциативной алгебры в подпрямое произведение алгебр без делителей нуля и алгебр с однозначным делением.

Теория простых алгебр и тел тесно связана со структурной теорией, т. к. многие структурные теоремы сводят изучение рассматриваемых колец и алгебр к изучению простых алгебр и тел. Получено описание ассоциативных простых алгебр с единицей, обладающих минимальными левыми идеалами, а также конечномерных альтернативных и йордановых простых алгебр. Рассмотрены автоморфизмы и дифференцирования простых ассоциативных алгебр и тел (см. Автоморфизм алгебраической системы, Дифференциальная алгебра).

Теория радикалов также тесно связана со структурной теорией; сами структурные теоремы – это, как правило, теоремы о полупростых кольцах и алгебрах в смысле некоторого радикала. Для получения новых структурных теорем было введено множество различных радикалов: нижний нильрадикал Бэра, локально нильпотентный радикал Левицкого, квазирегулярный радикал Джекобсона, радикал Брауна – Маккоя и др. В начале 1950-х гг. была создана общая теория радикалов, тесно связанная с теорией модулей и представлений (см. Радикалы колец и алгебр).

Алгебры с тождественными соотношениями начали привлекать внимание алгебраистов с тех пор, как обнаружилось, что наличие (нетривиального) тождества сильно влияет на строение колец и алгебр. В этом отношении показательна теорема Капланского об ассоциативных алгебрах: если ${A}$ – примитивная алгебра с полиномиальным тождеством степени $d$, то ${A}$ – конечномерная простая алгебра над своим центром и её размерность не превосходит $[d / 2]^2$ (Джекобсон. 1961). Имеется немало результатов и о неассоциативных алгебрах с тождественными соотношениями (см. Многообразиe колец).

Свободные алгебры и свободные произведения алгебр являются важными конструкциями в теории колец и алгебр, поскольку любая алгебра (некоторого многообразия) является гомоморфным образом свободной алгебры этого многообразия. Доказано, что любая подалгебра свободной неассоциативной алгебры сама свободна, a также что свободны все подалгебры свободных коммутативных, антикоммутативных алгебр и свободных алгебр Ли. Исследования в этой области тесно связаны с исследованиями алгебр с тождественными соотношениями и многообразий алгебр, т. к. тождества данного многообразия – это определяющие соотношения в свободной алгебре данного многообразия.

Теория вложений изучает в основном вопросы вложения ассоциативных колец и алгебр в тела или простые алгебры, в которых разрешимы те или иные уравнения (см. Вложение кольца). Стимулом к развитию этой теории послужил пример ассоциативной алгебры без делителей нуля, не вложимой в тело. Затем был найден критерий существования (классического) тела дробей для ассоциативных колец и алгебр без делителей нуля, а также необходимые и достаточные условия вложимости кольца в тело. К теории вложений можно отнести и теорию колец частных (см. Кольцо частных).

Аддитивная теория идеалов возникла при обобщении основной теоремы арифметики, равносильной теореме о представлении любого идеала кольца целых чисел в виде пересечения степеней простых идеалов, на произвольные ассоциативно-коммутативные кольца с условием максимальности (т. е. нётеровы кольца). Основная цель этой теории – представление любого идеала кольца в виде пересечения конечного числа идеалов некоторого специального вида (примарных, примальных, терциарных и т. д.). При этом вид «специальных» идеалов и вид разложений подбирается так, что при некоторых условиях конечности верны и «теоремы существования» (т. е. любой идеал имеет разложение) и «теорема единственности» (с каждым идеалом связывается некоторое множество простых идеалов, не зависящее от разложения). Для нётеровых колец эта цель была достигнута в классической нётеровой теории примарных идеалов. Найдено обобщение этой теории и на некоммутативный случай.

Коммутативная алгебра занималась сначала числовыми кольцами, возникшими в теории алгебраических чисел. В настоящее время теория коммутативных колец является бурно развивающейся областью на границе алгебры и алгебраической геометрии.

Нормированные, топологические, упорядоченные и некоторые другие кольца и алгебры с дополнительными структурами часто встречаются в функциональном анализе и других областях математики. Подробнее о кольцах с дополнительными структурами см. Нормированное кольцо, Топологическая алгебра, Упорядоченное кольцо.