Нётерово кольцо́ левое (правое), кольцо $A$, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий:

1) $A$ – левый (правый) нётеров модуль над собой;

2) любой левый (правый) идеал в $A$ имеет конечный базис;

3) любая строго возрастающая цепочка левых (правых) идеалов в $A$ обрывается на конечном номере.

Примером нётерова кольца может служить любое кольцо главных идеалов, в которых любой идеал имеет одну образующую.

Нётеровы кольца названы по имени Э. Нётер, систематически исследовавшей такие кольца и перенёсшей на них ряд результатов, известных ранее только при более жёстких ограничениях (например, теорию примарного разложения Ласкера).

Кольцо нётерово справа не обязано быть нётеровым слева и наоборот. Например, пусть $A$ – кольцо матриц вида $\left\|\begin{array}{ll}a & \alpha \\ 0 & \beta\end{array}\right\|$, где $a$ – целое рациональное число и $\alpha, \beta$ – рациональные числа с обычным сложением и умножением. Тогда $A$ нётерово справа, но не нётерово слева, т. к. левый идеал элементов вида $\left\|\begin{array}{ll}0 & \alpha \\ 0 & 0\end{array}\right\|$ не имеет конечного базиса.

Факторкольцо и конечная прямая сумма нётеровых колец снова нётеровы, но подкольцо нётерова кольца может не быть нётеровым. Например, кольцо многочленов над некоторым полем от бесконечного числа переменных не является нётеровым, хотя оно содержится в своём поле частных, которое нётерово.

Если $A$ – нётерово слева кольцо, то кольцо многочленов $A[x]$ также нётерово слева. Аналогичное свойство справедливо и для кольца формальных степенных рядов над нётеровым кольцом. В частности, кольца многочленов вида $K\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ или $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$, где $K$ – некоторое поле, а $\mathbb{Z}$ – кольцо целых чисел, а также любые их факторкольца являются нётеровыми. Любое артиново кольцо нётерово. Локализация коммутативного нётерова кольца $A$ относительно некоторой мультипликативной системы $S$ снова является нётеровым кольцом. В коммутативном нётеровом кольце $A$ для любого идеала $\mathfrak{m}$ такого, что все элементы вида $1+m$, где ${m} \in \mathfrak{m}$, не являются делителями нуля, выполняется соотношение $\bigcap_{k=1} \mathfrak{m}^k=0$. Это соотношение означает, что любой такой идеал $\mathfrak{m}$ определяет на $A$ отделимую $\mathfrak{m}$-адическую топологию. B коммутативном нётеровом кольце любой идеал представим в виде несократимого пересечения конечного числа примарных идеалов. Хотя такое представление неоднозначно, но однозначно определены число идеалов в представлении и множество простых идеалов, ассоциированных с данными примарными идеалами.