Кватернио́ны, обобщение понятия комплексных чисел. Комплексные числа $x+iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа, $i$ – базисная единица, удовлетворяющая условию $i^2=-1$, изображаются геометрически точками $(x,y)$ плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям). Поиски числовой системы, которая геометрически реализовалась бы с помощью точек 3-мерного пространства, привели к установлению того, что из точек пространства трёх и выше измерений нельзя построить числовую систему, в которой алгебраические операции сохраняли бы все свойства сложения и умножения комплексных чисел. Из точек пространства четырёх измерений можно построить числовую систему, если отказаться от свойства коммутативности умножения, сохранив все остальные свойства сложения и умножения. Числа, составляющие такую систему, называются кватернионами; они представляют собой линейные комбинации $$X=x_01+x_1i+x_2j+x_3k$$четырёх базисных единиц $1$, $i$, $j$, $k$, где $x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3$ – действительные числа. Действия над кватернионами производятся по обычным правилам действия над многочленами относительно $1, i, j, k$ (нельзя лишь использовать коммутативность умножения), правила умножения базисных единиц состоят в следующем:

Базисная единица $1$ играет роль обычной единицы и в записи кватернионов опускается, т. е. $X$ записывают в виде $X=x_0+x_1i+x_2j+x_3k$. В $X$ различают скалярную часть $x_0$ и векторную часть$V=x_1i+x_2j+x_3k$, так что $X=x_0+V$. Если $x_0=0$, то $X=V$ называется вектором; его можно отождествить с обычным 3-мерным вектором. Произведение кватернионов $X_1=V_1$ и $X_2=V_2$ выражается через скалярное $(V_1,V_2)$ и векторное $[V_1,V_2]$ произведения векторов $V_1$ и $V_2$ следующим образом: $$V_1V_2=-(V_1,V_2)+[V_1,V_2],$$что показывает тесную связь кватернионов с векторным исчислением.

Всякому кватерниону $X=x_0+V$ можно сопоставить сопряжённый кватернион $\overline X=x_0-V$, при этом $$X \overline X=\overline XX=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2.$$Это неотрицательное число называется нормой кватерниона $X$ и обозначается $N(X)$; она удовлетворяет соотношению $N(XY)=N(X)N(Y)$. У каждого кватерниона $X$ есть единственный обратный кватернион $X^{-1}$ (т. е. такой, что $XX^{-1}=X^{-1}X=1$), он равен $\overline X/N(X)$. Это даёт возможность решать уравнения вида $XA=B$ и $AY=B$: $X=BA^{-1}$, $Y=A^{-1}B$; т. о., кватернионы образуют алгебру с делением.

Обобщением комплексных чисел и кватернионов являются гиперкомплексные числа ранга $n$, которые представляют собой линейные комбинации $x_0+x_1e_1+\dots+x_{n-1}e_{n-1}$ некоторой системы базисных единиц $1,e_1,\dots,e_{n-1}$ с действительными коэффициентами $x_0,x_1,\dots,x_{n-1}$. Сложение и вычитание гиперкомплексных чисел определяется, как и в любом векторном пространстве, покомпонентно. Чтобы задать в этой системе умножение, надо определить $(n-1)^2$ значений для произведений базисных единиц $e_ie_j$, $i, j=1,\dots,n-1$ (произведения на единицу определяются естественным образом: $1 \cdot e_i=e_i \cdot 1=e_i$, т. е. задать матрицу порядка $n-1$ т. н. структурных констант). Из гиперкомплексных чисел кватернионы оказываются в некотором смысле самыми близкими к действительным и комплексным числам. Точнее, все конечномерные действительные ассоциативные алгебры без делителей нуля исчерпываются полями действительных чисел $\mathbf R$, комплексных чисел $\mathbf C$ и телом кватернионов.

Кватернионы были введены У. Гамильтоном в 1843 г. В середине 19 в. кватернионы воспринимались как обобщение понятия числа, призванного играть в науке столь же значительную роль, как и комплексные числа. Эта точка зрения подкреплялась тем, что были найдены приложения кватернионов к электродинамике и механике. Однако векторное исчисление в его современной форме вытеснило кватернионы из этих областей. Роль кватернионов несравнима с ролью комплексных чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения в различных отраслях науки и техники.