Ма́трица, таблица вида $$\begin{Vmatrix} a_{11} &a_{12} &\ldots &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} &\ldots & a_{2n}\\ \ldots&\ldots &\ldots &\ldots \\ a_{m1}&a_{m2} &\ldots & a_{mn} \end{Vmatrix}$$или $$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\ldots &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots&\ldots &\ldots &\ldots \\ a_{m1}&a_{m2} &\ldots & a_{mn} \end{pmatrix},$$образованная из элементов некоторого множества и состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов. Эта таблица называется прямоугольной матрицей размера $m×n$ (читается «$m$ на $n$», знак $×$ не означает умножение) или ($m×n$)-матрицей с элементами $a_{ij}$, элемент $a_{ij}$ расположен в $i$-й строке и $j$-м столбце, $i=1,\ldots,m$, $j=1,\ldots,n$. При $m=n$ матрица называется квадратной, а число $n$ – её порядком. Матрицы $A$ и $B$ считаются равными, если они имеют один и тот же размер и элементы, стоящие в $A$ и $B$ на одинаковых местах, равны между собой, т. е. $a_{ij}=b_{ij}$, $i=1,\ldots,m$, $j=1,\ldots,n$. Сокращённо матрица обозначается $A=\|a_{ij}\|$, $i=1,\ldots,m$, $j=1,\ldots,n$. Квадратная матрица в сокращённой записи иногда обозначается $\|a_{ij}\|_1^n$. Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (вектор-строкой), а состоящая из одного столбца – столбцом (вектор-столбцом). Матрица, получающаяся из матрицы $A$ заменой строк столбцами, называется транспонированной матрицей по отношению к $A$ и обозначается $A^T$ (иногда $A'$).

Чаще всего рассматриваются матрицы, элементами которых являются действительные или комплексные числа или элементы некоторого поля $K$; соответственно матрицы называются действительными, комплексными или матрицами над полем $K$. Если $A$ – комплексная матрица, то матрица, получающаяся из $A$ заменой её элементов комплексно сопряжёнными, называется матрицей, комплексно сопряжённой с $A$, и обозначается $\overline{A}$. Если элементы транспонированной матрицы $A^T$ заменяют на комплексно сопряжённые им числа, то получают матрицу $A^*=\|a^*_{ij}\|$, называемую сопряжённой или эрмитово-сопряжённой с $A$, здесь $a^*_{ij}=\overline{a}^*_{ij}$.

Действия над матрицами

(Все матрицы рассматриваются над одним полем $K$.) Важнейшими алгебраическими операциями над матрицами являются сложение матриц, умножение матрицы на число (элемент поля $K$), умножение матриц.

Суммой $A+B$ двух прямоугольных матриц $A$ и $B$ одного размера $m×n$ называется матрица $C$ размера $m×n$, для которой элемент $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$, $i=1,\ldots,m$, $j=1,\ldots,n$, т. е. равен сумме соответствующих элементов слагаемых. Произведением матрицы $A$ на число $α$ называется матрица $αA$, элементы которой получаются из элементов матрицы $A$ умножением на $α$, т. е. $αA=\|αa_{ij}\|$, $i= 1,\ldots,m$, $j=1,\ldots,n$. Эти операции обладают свойствами

$$A+B=B+A,\\α(A+B)=αA+αB,\\A+(B+C)=(A+B)+C,\\(α+β)A=αA+βB,\\α(βA)=(αβ)A.$$Умножение матриц определяется только для таких пар матриц, у которых число столбцов в 1-м сомножителе равно числу строк во 2-м сомножителе, при этом произведение $AB$ матрицы $A=\|a_{ij}\|$ размера $m×n$ на матрицу $B=\|b_{jk}\|$ размера $n×s$ есть матрица $C=\|c_{ik}\|$, для которой $$c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ik},\quad i=1,\ldots,m,\quad k=1,\ldots,s$$(правило умножения строки на столбец). Умножение матриц обладает свойствами

$$(AB)C=A(BC),\\(A+B)C=AC+BC,\\A(B+C)=AB+AC,\\α(AB)=(αA)B=A(αB).$$Справедливы также равенства

$$(AB)^T=B^TA^T,\,\, \overline{AB}=\overline{A}\overline{B},\,\, (AB)^*=B^*A^*.$$Произведения $AB$ и $BA$, если они определены одновременно, например для квадратных матриц одного порядка, вообще говоря, зависят от порядка сомножителей, т. е. равенство $AB=BA$ может не выполняться; например,

$$\begin{aligned} \begin{Vmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}&=\begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix},\\ \begin{Vmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}&=\begin{Vmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{Vmatrix}. \end{aligned}$$Если $AB=BA$, то матрицы $A$ и $B$ называются перестановочными (коммутирующими).

Квадратные матрицы

Элементы $a_{ii}$, $i=1,...,n$, квадратной матрицы $A=\| a_{ij}\| _1^n$ называются диагональными; эти элементы расположены на т. н. главной диагонали матрицы. Квадратная матрица, у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, т. е. матрица вида $$\begin{Vmatrix} d_1 &0 &\ldots &0 \\ 0& d_2 & \ldots & 0\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0 &\ldots & d_n \end{Vmatrix}$$называется диагональной и обычно обозначается $\textrm{diag}\, (d_1,\ldots,d_n)$. Если в диагональной матрице все элементы на главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается $E$ или $I$ (соответственно $E_n$ или $I_n$, если нужно указать её порядок): $$E=\begin{Vmatrix} 1 &0 &\ldots &0 \\ 0& 1 & \ldots & 0\\ \ldots&\ldots &\ldots &\ldots \\ 0&0 &\ldots & 1 \end{Vmatrix}.$$Для любой матрицы $A$ размера $m×n$ справедливы равенства $AE_n=A$, $E_mA=A$.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число (элемент поля $K$), называемое её определителем или детерминантом. Минором $k$-го порядка матрицы $A$ размера $m×n$ называется определитель $k$-го порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении некоторых $k$ строк и $k$ столбцов матрицы $A$ в их естественном расположении. Рангом матрицы $A$ называется максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы $A$.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю; в противном случае матрица называется вырожденной. Для любой невырожденной матрицы $A$ существует единственная обратная матрица $A^{–1}$, определяемая равенством $AA^{–1}=E$. Обратная матрица перестановочна с исходной, т. е. $AA^{–1}=A^{–1}A=E$. Справедливо равенство $(AB)^{–1}=B^{–1}A^{–1}$.

Квадратные матрицы $A$ и $B$ одного порядка $n$ называются подобными, если существует невырожденная матрица $S$ того же порядка $n$ такая, что $B=S^{–1}AS$. Одной из задач теории матриц является поиск матрицы $B$, подобной матрице $A$ и имеющей более простой вид. Решение этой задачи связано с рассмотрением характеристического многочлена матрицы $A$ и собственных векторов соответствующего линейного преобразования. В качестве канонического вида матрицы, подобной данной, принимается, например, жорданова нормальная форма матрицы, когда матрица $B$ представляется в виде $$\begin{Vmatrix} B_1 &0 &\ldots &0 \\ 0& B_2 & \ldots & 0\\ \ldots&\ldots &\ldots &\ldots \\ 0&0 &\ldots & B_p \end{Vmatrix},$$где $B_1,\ldots,B_p$ – т. н. жордановы клетки, т. е. квадратные матрицы вида $$\begin{Vmatrix} \lambda _i &1 & & & & &0 \\ &\lambda _i & 1 & & & & \\ & & . & & & & \\ & & & . & & & \\ & & & & . & & \\ & & & & & \lambda _i & 1\\ 0& & & & & &\lambda _i \end{Vmatrix},$$где $\lambda_i$, $i=1,\ldots,p$, – собственные значения линейного преобразования с матрицей $A$.

В таблице даны определения некоторых важных типов комплексных матриц со специальными свойствами симметрии.

Эрмитова (и, в частности, симметрическая) матрица с действительными элементами подобна диагональной матрице $B = \textrm{diag}\, (λ_1,...,λ_n)$, где все $λ_i$ – действительные числа. В качестве матрицы $S$ в формуле $B=S^{–1}AS$ можно взять для эрмитовой матрицы унитарную, а для симметрической – ортогональную матрицу. Это свойство симметрической матрицы с действительными элементами лежит в основе метода приведения квадратичной формы к главным осям, применяемого в аналитической геометрии и механике.

Функции от матриц

Для любой квадратной матрицы $A$ степень матрицы с натуральным показателем определяется как произведение одинаковых сомножителей $A:A^k= A\ldots A$, при этом полагают $A^0=E$. Каждый многочлен

$$P_n(t)=a_0t^n+a_1t^{n–1}+\ldots+a_{n–1}t+a_n$$степени $n$ с коэффициентами $a_0, a_1,\ldots,a_n$ из поля $K$ определяет функцию от квадратной матрицы $A$ над полем $K$, имеющую вид

$$P_n(X)=a_0X^n+a_1X^{n–1}+\ldots+a_{n–1}X+a_nE.$$Рассматриваются также аналитические функции от матриц. Если аналитическая функция $f(t)$ определяется рядом $$f(t)=\sum_{k=0}^{\infty }a_kt^k,$$сходящимся на всей комплексной плоскости, то можно рассматривать функцию от матрицы $A$ $$f(X)=\sum_{k=0}^{\infty }a_kX^k,$$например,$$e^X=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{X^k}{k!}.$$

Применения матриц

Матричный язык, обозначения и матричные вычисления используются в различных областях современной математики и её приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений. Матрицы используются в математическом анализе, механике и теоретической электротехнике, квантовой теории и др. (см. Матричные методы). Бесконечные матрицы используются в функциональном анализе (теория линейных операторов, теория представлений групп).

Историческая справка

Впервые матрица как математическое понятие появилась в работах У. Р. Гамильтона, А. Кэли и Дж. Дж. Сильвестра в середине 19 в. Основы теории матриц созданы К. Вейерштрассом и Ф. Г. Фробениусом во 2-й половине 19 – начале 20 вв. Современное обозначение – две вертикальные черты – ввёл А. Кэли (1841).