Коммутати́вная а́лгебра, раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов.

Возникновение коммутативной алгебры связано с задачами теории чисел и алгебраической геометрии. Эти задачи, как правило, относились к конкретным классам колец. Одним из главных объектов теории чисел является кольцо целых рациональных чисел, и основной факт его арифметики состоит в том, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел, например $60=2·2·3·5$, причём разложение единственно с точностью до порядка и знаков сомножителей: $60=2·5·3·2=(–2)·2(–3)·5=\ldots$ В 1-й половине 19 в. К. Гауссом, Э. Куммером и др. была обнаружена связь различных вопросов теории чисел с арифметикой некоторых расширений поля рациональных чисел. Изучению этих вопросов классическими методами мешало отсутствие однозначности разложения алгебраических чисел в произведение неразложимых множителей. Например, если рассматривать числа вида $m+n\sqrt{-5}$, где $m$ и $n$ – любые целые (рациональные) числа, то (так же, как для обычных целых чисел) каждое такое число можно разложить в произведение далее неразложимых множителей, однако в этом случае нарушается единственность разложения. Так, число $9$ (которое получается при $m=9$, $n=0$) допускает 2 различных разложения, $9=3·3$ и $9=(2+\sqrt{−5}) (2-\sqrt{-5})$, причём ни один из множителей $3, (2+\sqrt{-5}), (2-\sqrt{-5})$ далее разложить в произведение чисел вида $m+n\sqrt{-5}$ нельзя. Нарушения единственности разложения не будет, если свойство разложимости связывать не с числами, а с т. н. идеалами. Идеалы вводятся в произвольных кольцах. В случае числовых колец идеалом называется совокупность чисел, принадлежащих числовому кольцу (а в случае произвольного кольца – совокупность его элементов), обладающая следующими свойствами: сумма и разность двух чисел (элементов) совокупности принадлежит этой совокупности; произведение числа (элемента) из этой совокупности на любое другое число (на любой другой элемент) кольца также принадлежит этой совокупности. Например, идеалы в кольце целых рациональных чисел – это в точности совокупности чисел, кратных какому-нибудь фиксированному целому числу. В случае числовых колец (таким является, например, рассмотренная выше совокупность чисел вида $m+n\sqrt{-5}$) идеал называется также идеальным числом. Любой идеал единственным образом разлагается в произведение неразложимых идеалов, которые называются простыми. Строгое и полное обоснование теории идеалов для любых числовых полей дали независимо друг от друга Р. Дедекинд (1871) и Е. И. Золотарёв (1877, опубликовано в 1880). Дальнейшая разработка теории идеалов связана с развитием общей теории колец.

Параллельно происходило формирование коммутативной алгебры внутри алгебраической геометрии. В начале своего развития алгебраическая геометрия изучала свойства алгебраических кривых на плоскости и, более общо, алгебраических многообразий в $n$-мерном пространстве, задаваемых как множество $M$ общих нулей нескольких многочленов от $n$ переменных. Поскольку многообразие $M$ можно задавать и другими уравнениями, то более естественно с многообразием $M$ связывать идеал всех многочленов, обращающихся в нуль на $M$. Это ещё один путь, приводящий к понятию идеала.

Интенсивное развитие коммутативной алгебры началось после публикации в 1890-х гг. работ Д. Гильберта, получившего ряд фундаментальных результатов о кольце многочленов. К началу 20 в. были получены результаты, относящиеся к кольцам алгебраических чисел и многочленов, однако конкретность исходных объектов мешала увидеть некоторые общие закономерности и связи. Развитие современной коммутативной алгебры связано также с возникновением теории $p$-адических чисел, послужившей толчком к систематическому изучению строения различных классов коммутативных колец. Другим источником развития коммутативной алгебры стала её геометризация, превратившая коммутативную алгебру в составную часть алгебраической геометрии. Это позволяет использовать в исследованиях геометрические методы.